Bajo qué circunstancia una matriz de covarianza será positiva semi-definida en lugar de positiva definida?

Question

Tengo una matriz de covarianza:

$\operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{X}) = \operatorname{E}[(\mathbf{X} - \operatorname{E}[\mathbf{X}])(\mathbf{X} - \operatorname{E}[\mathbf{X}])^T]$

De acuerdo a Wikipedia, debe ser una positiva semi-definida la matriz.

Bajo qué circunstancias va a ser positiva semi-definida en lugar de positiva definida?

La razón por la que estoy preguntando es porque veo que una cosa común a hacer cuando la aplicación de un Perfume Filtro de Kalman es implementar la raíz cuadrada de la matriz de covarianza mediante el comando de matlab:

sqrt_P = gamma * chol(P_a, 'lower')

donde gamma es un factor de escala y P_a es el estado de la matriz de covarianza.

Entiendo que para chol (a) para que funcione, tiene que ser positiva definida:

>> help chol
 CHOL   Cholesky factorization.
    CHOL(A) uses only the diagonal and upper triangle of A.
    The lower triangle is assumed to be the (complex conjugate)
    transpose of the upper triangle.  If A is positive definite, then
    R = CHOL(A) produces an upper triangular R so that R'*R = A.
    If A is not positive definite, an error message is printed.

Así que, ¿cuáles son los peligros en el supuesto de que no es positivo semi-definida? Será sólo semi-definida cuando (por ejemplo) es la matriz cero, o cuando no están totalmente correlacionados estados?

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ADDENDUM:

En el post original, se hacía referencia a "si los estados están totalmente correlacionados". Este fue más rápido y suelto con la notación. No hay una explicación y una respuesta sobre ello aquí.

Answer 1

Así, en el $1 \times 1$ de los casos, una matriz es positiva semi-definida precisamente cuando su única entrada es un valor no negativo, y una variable aleatoria $X$ cero, la varianza si y sólo si es un.s. constante. (Si usted no sabe de lo que una.s.' significa, puede hacer caso omiso a lo largo de esta discusión.) En efecto, asumiendo $\mathbb{E}[X] = 0$ (que no es ninguna pérdida de generalidad), tenemos $$\operatorname{Var} X = \int_{\Omega} X^2 \mathrm{d} \mathbb{P}$$ y puesto que el integrando es no negativo, esto es igual a cero si y sólo si el integrando es una.s. cero, es decir, si y sólo si $X = 0$.s. En el caso de que $\mathbb{E}[X] \ne 0$, tenemos (por linealidad) $\operatorname{Var} X = 0$ si y sólo si $X = \mathbb{E}[X]$.s.

En general, si usted tiene un $n \times n$ simétrica matriz $V$, existe una matriz ortogonal $Q$ tal que $Q V Q^{\sf T}$ es una matriz diagonal $D$, e $V$ es positivo semi-definida si y sólo si las entradas de la diagonal de a $D$ son todos no negativos. Pero si $V$ es la matriz de covarianza de $\mathbf{X}$, $D$ es la matriz de covarianza de $Q \mathbf{X}$, y por lo $V$ es positivo semi-definida pero no positiva definida si y sólo si alguno de los componentes de $Q \mathbf{X}$ es una.s. constante. Esto sucede si y sólo si algunos lineal combinación de $\mathbf{X}$ es 'completamente correlacionada', para usar sus palabras.