Mientras que haciendo un poco de investigación sobre la "alternancia de Basilea Problema" me han llegado a través de este post relacionados que establece la igualdad de
$$\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x}dx=-\frac12\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}dx$$
el uso de la Dilogarithm uno puede mostrar que "la alternancia de Basler Problema" es una consecuencia directa de esta ecuación y los rendimientos
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$$
por lo tanto, no tengo dudas de confiar en el autor de la citada post. Comoquiera que traté de verificar la igualdad por mí mismo y no pudo. Para este propósito he hecho los dos subsitutions $x=1+y$ dentro de la integral de la derecha
$$\begin{align} -\frac12\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}dx=-\frac12\int_{(0-1)}^{(1-1)} \frac{\ln(1+y)}{1-(1+y)}dy=-\frac12\int_{-1}^{0} \frac{\ln(1+y)}{y}dy \end{align}$$
pero de aquí en adelante, no estoy seguro de cómo proceder. Claramente tengo que demostrar ahora que
$$\begin{align} -\frac12\int_{-1}^{0} \frac{\ln(1+x)}{x}dx&=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}dx\\ \frac12\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x}dx&=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}dx\\ 0&=\int_0^1 \frac1x\left(\ln(1+x)-\frac12\ln(1-x)\right) \end{align}$$
pero parece que he cometido un error en algún sitio desde el WolframAlpha no está de acuerdo con mi razonamiento. Además no tengo idea de cómo proceder. Para ser honesto, estoy muy confundido ahora.
Primero de todos, donde fue exactamente lo que me pasó? Además, alguien podría proporcionar una solución completa para la igualdad o un enlace a una evaluación completa? Dime cuando esta pregunta se ha preguntado antes.
Gracias de antemano!
