derivado de $\left|\sin(x)\right|$ $\pi$

Question

Deje $f$ ser una función, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$f(x)=\begin{cases} e^{x^2}-2 & x< 0 \\ x^3+x-1 & 0\leq x \leq 1 \\ \left|\sin(x)\right| & x>1. \end{casos}$$

Compruebe si $f$ es continua y diferenciable en a$a$, cuando se $a=0,1,\frac{\pi}{2}, \pi$. Si $f$ es diferenciable en a$a$, encontrar $f'(a)$.

Lo que he estado haciendo:

He encontrado que:

• $f$ es continua en a$0$ pero no diferenciable.
• $f$ no es continua en a$1$ así que no es diferenciable.

Y entonces pensé que la $f$ fue diferenciable en a$\pi$ e $\frac{\pi}{2}$ porque $f$ es continua en a$(1, +\infty)$ ($\left|\sin(x)\right|$), así que busqué:

1. $f'(\frac{\pi}{2})=\left|\cos(\frac{\pi}{2})\right|=0$ (por la solución a mi profe me dio este es correcta).
2. $f'(\pi)=\left|\cos(\pi)\right|=-1$ Ahora esto está mal. La solución que me dieron dice que $f$ no es diferenciable en a$\pi$, y estoy muy perdido. ¿Por qué es diferenciable en a$\frac{\pi}{2}$ e no $\pi$?

Answer 1

• $f$ se comporta como $\sin(x)$ todo $\frac{\pi}{2}$. Es diferenciable.

• $f$ se comporta como $\sin(x)$ a la izquierda de $\pi$ pero se comporta como $-\sin(x)$ a la derecha. Tenemos que ser más cuidadoso.

• $f(\pi)=0$.

• $\lim_{x \to \pi^-} \frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi^-} \frac{f(x)-0}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi^-} \frac{\sin(x)-\sin(\pi)}{x-\pi}=\cos(\pi)=-1$

• $\lim_{x \to \pi^+} \frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi^+} \frac{-\sin x-0}{x-\pi}=-\lim_{x \to \pi^+} \frac{\sin(x)}{x-\pi}=-\lim_{x \to \pi^+} \frac{\sin(x)-\sin(\pi)}{x-\pi}=-\cos(\pi)=1$

Esperemos que esta imagen te puede ayudar, aviso donde la torcedura se produce.

Answer 2

Intuitivamente, $|\sin x|$ no es diferenciable en a$x=\pi$ debido a que la gráfica llega a una esquina afilada allí.

Para hacer este razonamiento riguroso, establezca $f(x)=|\sin x|$ y mira la diferencia cociente

$$\frac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}=\frac{|\sin(\pi+h)|}{h}$$

Cuando $h\to0^{+}$, la diferencia cociente es $-\frac{1}{h}\sin(\pi+h)=\frac{1}{h}(\sin h)$, lo que tiende a $1$.

Pero cuando $h\to0^{-}$, la diferencia cociente es $\frac{1}{h}\sin(\pi+h)=-\frac{1}{h}(\sin h)$, lo que tiende a $-1$.

Por lo tanto, las dos caras límite del cociente de la diferencia como $h\to 0$ no existe.

Por lo $f$ no es diferenciable en a$x=\pi$.

---

Tenga en cuenta que mi respuesta no mira el límite de $f'$. Se ve en el límite del cociente de la diferencia, trabajando directamente de la definición de la derivada.

Answer 3

sugerencia:

Un derivado es definido por un límite: $$ f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Como cualquier límite, usted debe verificar que este límite no depende de la ruta que usted utilice para calcular que

En $\mathbb{R}$, sólo dos caminos posibles: desde la izquierda o la que viene de la derecha, por lo tanto para demostrar derivability en $x$ debe comprobar que $$ \lim_{h\rightarrow0_+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0_-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Answer 4

Tenga en cuenta que en el intervalo de $[1, \pi]$, tenemos $f(x) = |\sin(x)| = \sin(x)$ porque $\sin(x) \geq 0$. Sin embargo, para $x \in [\pi, 2 \pi]$, tenemos $f(x) = -\sin(x)$ porque $\sin(x) \leq 0$. Por lo tanto, $$ \lim_{x \to \pi^{-}} f'(x) = \lim_{x \to \pi{-}} \cos(x) = -1$$ y $$ \lim_{x \to \pi^{+}} f'(x) = \lim_{x \to \pi^{+}} (-\cos(x)) = 1$$ Por lo tanto, $f$ no es diferenciable en a$x = \pi$.

Answer 5

es en efecto discontinuo en <span class="math-container">$f$</span> <span class="math-container">$x=1$</span> .

Luego de la definición de función,

<span class="math-container">$$ f'(x) =\begin{cases} 2xe^{x^2} & x</span>

Tenemos desajustes entre derivados a la izquierda y a la derecha en <span class="math-container">$x=0$</span> y <span class="math-container">$x=\pi$</span>.