! ¡Sistemas dinámicos! Demostrar la existencia de un punto periódico no fija de $q_\mu$ del período 3 $\mu>4$ y $q_\mu=\mu x(1-x)$.

Question

Me estoy tomando un curso en sistemas dinámicos y esta pregunta surgieron en el curso de literatura. En la literatura se muestran un ejemplo similar donde vamos a hacer la misma cosa exepto para nosotros en lugar de mostrar la existencia de un no-fija periódica punto de periodo 3, nos muestran la existencia de un no-fija periódica punto de período 2. Lo que hacen en este ejemplo es la siguiente: $$q_\mu([1/\mu,1/2])\supset[1-1/\mu,1]$$ $$q_\mu([1-1/\mu,1])\supset[0,1-1/\mu]\supset[1/\mu,1/2]$$ Y entonces, en este punto podemos ver claramente que $q_\mu^2([1/\mu,1/2])\supset[1/\mu,1/2]$ y, a continuación, podemos ver por el teorema del valor intermedio $q_\mu^2$ tiene un punto fijo $p_2\in[1/\mu,1/2]$. Por lo tanto $p_2$ e $q_\mu(p_2)$ no son fijas periódicas de los puntos de periodo 2.

Lo que yo estoy haciendo aquí es cómo se supone que voy a venir para arriba con un intervalo de al principio? Y si yo no estoy se supone que vienen con un intervalo para empezar, para mostrar la existencia de un no-fija periódica punto. Entonces, ¿cómo se supone que voy a mostrar la existencia de un punto?

Repost de la pregunta:

Muestran la existencia de un no-fija periódica punto de $q_\mu$ de período de 3 de $\mu>4$ e $q_\mu=\mu x(1-x)$.

Answer 1

Dejando $p_{\mu}(x)=\mu x(1-x)$ tenemos que $$ q_{\mu}(x) = \frac{p_{\mu}(p_{\mu}(p_{\mu}(x))))-x}{x} $$ está en séptimo grado del polinomio cumpliendo $q_{\mu}(0)=\mu^3-1$, $q_{\mu}(1/\mu) = \mu-2$ y $$q_\mu(1/(2\mu))=\frac{1}{128} \left(-129-16 \mu +8 \mu ^2+64 \mu ^3-16 \mu ^4\right)<0,$$ por lo tanto, no es una raíz de $q_\mu$ entre $\frac{1}{2\mu}$ e $\frac{1}{\mu}$. No es difícil mostrar que esta raíz no puede ser una raíz de $\frac{p_\mu(x)-x}{x}$ o $\frac{p_\mu(p_\mu(x))-x}{x}$, por lo que es un periódico punto de período de $3$.

Con un poco de refinamiento, el método de Newton localiza el primer positivo 3-periódico punto alrededor de $\frac{\mu^2-3\mu-1}{\mu^2(\mu-3)}$.

Answer 2

No es un problema sencillo. Este es un boceto de la solución, que tal vez usted va a estudiar en el final del curso.

Para mayor comodidad, arreglar $\mu>4$ y soltar el subíndice $\mu$.

Definir $\Lambda=\{x\in[0,1]:f^n(x)\in[0,1]\ \forall n\}$. Si $x\notin\Lambda$, a continuación, $f^n(x)\to-\infty$. La dinámica de $f$ se concentran en $\Lambda$. Se puede demostrar que $\Lambda$ es un conjunto de Cantor. El sistema de $f\colon\Lambda\to\Lambda$ es equivalente a $\sigma\colon\Sigma\to\Sigma$, donde $\Sigma$ es el conjunto de secuencias de $0$ 'arena $1$'s y $\sigma$ es el operador de desplazamiento a: $\sigma(a_1a_2a_3\dots)=a_2a_3\dots$ Finalmente, es claro que $$ 100100100100\dots $$ es un periódico punto de $\sigma$ del período $3$. Por equivalencia, $f$ tiene un periódico punto de período de $3$ en $\Lambda$.