Posibilidad de registro con función exponencial

Question

Estoy tratando de encontrar el máximo de probabilidad de esta función. Tengo muestras en esta pregunta de la siguiente manera: (0.77, 0.82, 0.94, 0.92, 0.98)

$$f_Y(y;\theta)=\theta y^{\theta-1} ;, \quad 0 \le y \le 1 ;, 0 \lt \theta$$

$$L(\theta) = \prod\limits_{i=1}^{n} \theta y_i^{\theta-1} \\ = \theta^n\prod\limits_{i=1}^{n}y_i^{\theta-1}$$

A partir de aquí estoy atascado. No estoy seguro de si debo tomar el registro de ahora o no es uno más se mueven antes de que tome el registro. La respuesta es de 8.00. si pongo los valores que probablemente hacen que sea más fácil para mí, pero a mí me parece que no sé una técnica o identidad de aquí a pasar. Alguna ayuda?

Continua en:

$$\text{Vamos a }\; T = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigg(n\ln \theta + (\theta -1)\sum_{i=1}^n \ln y_i\bigg) = \frac{n}{\theta} + \sum_\límites{i=1}^{n}ln(y_i) \\ \text{Vamos a } \; T = 0 = \frac{n}{\theta} -0.261 - 0.198 - 0.083 - 0.061 - 0.02 \\ \text{implica } \hat{\theta} = \frac{5}{0.623} = 8$$

Answer 1

Continuar desde donde lo dejó, simplemente es :

$$ L(\theta) = \theta^n\prod\limits_{i=1}^{n}y_i^{\theta-1} \Rightarrow \ln (L(\theta)) = \ln\bigg(\theta^n\prod\limits_{i=1}^{n}y_i^{\theta-1} \bigg) \Leftrightarrow \ln(L(\theta)) = n\ln\theta + \ln\bigg(\prod_{i=1}^ny_i^{\theta-1}\bigg) $$

$$\Leftrightarrow$$

$$\ln(L(\theta)) = n \ln \theta + \sum_{i=1}^n \ln(y_i^{\theta-1}) \Leftrightarrow \ln(L(\theta)) = n\ln \theta + (\theta -1)\sum_{i=1}^n \ln y_i$$

Para encontrar el MLE para la función dada, se diferencian por $\theta$ y resolver con respecto al $\theta$ así se obtiene el estimador de $\hat{\theta}$:

$$\frac{\partial \ln(L(\theta))}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\bigg(n\ln \theta + (\theta -1)\sum_{i=1}^n \ln y_i\bigg) \Leftrightarrow \dots$$

Por último, calcular la MLE valores para los puntos dados tiene pero recuerde, la probabilidad es producido por el uso de la $\ln$ función, lo que significa que sus valores finales deben ser exponanted a $e$.