¿Es la sheafication de un "presheaf de $\mathcal{O}_X$-módulos" un $\mathcal{O}_X$-módulo?

Question

Deje $(X,\mathcal{O}_X$) ser un espacio anillado. Un presheaf de $\mathcal{O}_X$-módulos es un presheaf $\mathcal{F}$ de abelian grupos en $X$ tal que $\mathcal{F}(U)$ es $\mathcal{O}_X(U)$-módulo para cada una de las $U\subseteq X$, y cada mapa de restricción de $\mathcal{F}$ es lineal con respecto a la restricción correspondiente mapa de $\mathcal{O}_X$. Más precisamente, la última condición se dice: si $V\subseteq U\subseteq X$ están abiertas, a continuación, $\alpha(rm)=\beta(r)\alpha(m)$ para todos los $r\in\mathcal{O}_X(U)$ e $m\in\mathcal{F}(U)$, donde $\alpha:\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}(V)$ e $\beta:\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{O}_X(V)$ son los mapas de restricción.

Es el sheafication de un presheaf de $\mathcal{O}_X$-módulos necesariamente un $\mathcal{O}_X$-módulo?

Answer 1

Deje $\mathcal{F}$ ser un presheaf de $\mathcal{O}$-módulos, y vamos a $$K=\coprod_{P\in X}\mathcal{F}_P$$ ser distinto de la unión de los tallos de $\mathcal{F}$. Ahora vamos a $\mathcal{H}$ ser $\mathcal{O}$-módulo dada por $$\mathcal{H}(U)=\{f:U\to K\mid \forall P\in U,\ f(P)\in\mathcal{F}_P\}$$ para abrir todas las $U\subseteq X$, con mapas de restricción como en el sentido usual de la palabra. A continuación, identificamos $\mathcal{F}$ con un subpresheaf $\mathcal{G}$ de $\mathcal{H}$. En particular, tomamos $$\mathcal{G}(U)=\{f:U\to K \mid \mbox{$\exists s\in \mathcal{F}(U)$ such that, $\forall P\U$, $f(P)=s_P$}\}$$ para abrir todas las $U\subseteq X$; $s_P$ es el germen de $s$ a $P$. El sheafication de $\mathcal{G}$ está dado por \begin{align*}&\mathcal{G}^+(U)\\ =\ &\{f:U\to K \mid \mbox{%#%#% %#%#%, %#%#% and %#%#% such that, %#%#%, %#%#%}\}\end{align*} para abrir todas las $\forall$; $P\in U$ es el conjunto de todos los barrios de $\exists V\in N_U(P)$ en $t\in\mathcal{F}(V)$. Desde $\forall Q\in V$ es un subsheaf de $f(Q)=t_Q$, es suficiente para mostrar que $U\subseteq X$ es $N_U(P)$-submódulo de $P$ para abrir todas las $U$. Revisión abierta $\mathcal{G}^+$. Se observa que el $\mathcal{H}$ función de está en a$\mathcal{G}^+(U)$. Ahora vamos a $\mathcal{O}(U)$, vamos a $\mathcal{H}(U)$ e $U\subseteq X$ en $U\subseteq X$, y corregir $0$. Entonces no existir $\mathcal{G}^+(U)$ e $r\in\mathcal{O}(U)$ en $f$, $g$ e $\mathcal{G}^+(U)$ tal que $P\in U$ para todos los $V$, e $W$ para todos los $N_U(P)$. Por lo tanto, $s\in\mathcal{F}(V)$ para todos los $t\in\mathcal{F}(W)$, y por lo tanto $f(Q)=s_Q$. Por lo tanto, $Q\in V$ es $g(R)=t_R$-módulo.

Answer 2

Una $\mathcal O_X$-módulo de estructura en un abelian pre-gavilla es la misma cosa como una de morfismos de abelian pre-poleas $\rho_F\colon \mathcal{O}_X\times F\to F$, haciendo que la asociatividad-diagrama conmuta. Tomar asociados a las poleas y la inducida por morfismos: $\rho^a_F\colon a(\mathcal{O}_X\times F)\to aF$ y observar que el natural de morfismos $a(\mathcal{O}_X\times F)\to \mathcal{O}_X\times aF$ es un isomorfismo, ya que es un isomorfismo en los tallos y ambos son poleas. Componer $\rho^a_F$ con la inversa, obtenemos un morfismos de abelian poleas $\mathcal{O}_X\times aF\to aF$ lo que hace que la asociatividad-diagrama conmuta ya que los desplazamientos en los tallos. Por lo tanto, nos encontramos con la induce módulo de la estructura de los asociados gavilla simplemente por sheafifying la acción de morfismos.