La declaración puede ser un poco más fuerte:
Reclamo: Si un polinomio real $p$ cumple que $p+p'''\ge p'+p''$, luego
cualquiera de las $p>0$ o $p\equiv 0$.
Prueba 1:
Definir
$$f(x)=e^x\left(p(x)-2p'(x)+p''(x)\right).$$
A continuación, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ y
$$f'(x)=e^x\left(p(x)-p'(x)-p''(x)+p'''(x)\right)\ge 0,$$
es decir, $f$ es cada vez mayor. De ello se desprende que $f\ge 0$, y por lo tanto
$$p-2p'+p''\ge 0.$$
Definir
$$g(x)=e^{-x}\left(p(x)-p'(x)\right).$$
A continuación, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$ y
$$g'(x)=-e^{-x}\left(p(x)-2p'(x)+p''(x)\right)\le 0,$$
es decir, $g$ está disminuyendo. De ello se desprende que $g\ge 0$, y por lo tanto
$$p-p'\ge 0.$$
Definir
$$h(x)=e^{-x}p(x).$$
A continuación, $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=0$ y
$$h'(x)=-g(x)\le 0,$$
es decir, $h$ está disminuyendo. Por lo tanto, cualquiera de las $h>0$ o $h\equiv 0$. La conclusión de la siguiente manera.
Prueba 2:
Denotar $q=p-p'$. Entonces
$$p+p'''\ge p'+p''\iff q-q''\ge 0.$$
Esto implica que
$\deg(q-q'')=\deg q=\deg p$ debe ser par. Por lo tanto, $q$ tiene un mínimo global de valor del punto, decir $x_q$. Entonces
$$q(x)\ge q(x_q)\ge q''(x_q)\ge 0,$$
es decir,
$$p\ge p'.$$
Del mismo modo, $p$ también tiene un mínimo global de valor del punto, decir $x_p$. Entonces
$$p(x_p)\ge p'(x_p)= 0.$$
Si $p(x_p)>0$, hemos terminado. Para completar la prueba, supongamos que $p(x_p)=0$ y vamos a mostrar que $p\equiv 0$ por reducción al absurdo. Si $p(x_p)=0$ $p$ no es constante, entonces existe un entero $k\ge 1$, de tal manera que $p(x)=(x-x_p)^k r(x)$ para algunos polinomio $r$$r(x_p)\ne 0$. Desde $x_p$ es un punto mínimo de $p$, $k$ debe ser par. Entonces
$$p(x)-p'(x)=-kr(x_p)(x-x_p)^{k-1}+O((x-x_p)^k)$$
no se puede siempre no negativo, una contradicción.
