Serie de seno de Fourier.

Question

Estoy tratando de encontrar la transformada de Fourier senoidal de la serie de la función $$f(x)=1-x,\quad 0<x<1.$$

Mi método es el siguiente:

Buscamos $\displaystyle f(x)=\sum_{j=1}^{N} A_j\phi_j(x)$, donde$$A_j=\frac{2}{L}\int_{K}^{L} f(x)\sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}x, \quad (K,L)=(0,1).$$ Por lo tanto, \begin{align} A_j&=\frac{2}{j\pi}. \end{align}

Además, encontrar el error cuadrático cuando la primera $3$ términos de la anterior de la serie. Creo que la mejor manera de hacer esto es utilizar la identidad de Parseval.

La parte final es la siguiente. Si cada plazo $n$ es añadido y $n\rightarrow\infty$, ¿puede un punto de $0<a_n<1$ siempre se puede encontrar tal que la serie $Sf$ difiere de $f$ por más de $0.5$ (es decir, $|Sf(a_n)-f(a_n)|>0.5$).

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}\def\i{\mathrm{i}}\def\e{\mathrm{e}}\def\Im{\operatorname{Im}}\def\inprod#1#2{\left\langle#1,#2\right\rangle}\def\norm#1{\left\|#1\right\|}$Para la primera pregunta, su método es de hecho correcta, aunque los coeficientes de Fourier puede ser calculado por el complejo de integración:\begin{gather*} A_j = 2 \int_0^1 (1 - x) \sin(jπx) \,\d x = 2 \Im\left( \int_0^1 (1 - z) \e^{jπz\i} \,\d z \right),\\ \int_0^1 (1 - z) \e^{jπz\i} \,\d z = \left. \left( \frac{\i z}{jπ} - \frac{jπ\i + 1}{(jπ)^2} \right) \e^{jπz\i} \right|_0^1 = -\frac{\e^{jπ\i}}{(jπ)^2} + \frac{jπ\i + 1}{(jπ)^2},\\ A_j = 2 \Im\left( -\frac{\e^{jπ\i}}{(jπ)^2} + \frac{jπ\i + 1}{(jπ)^2} \right) = \frac{2}{jπ}. \end{reunir*} Si $f(x)$ es un polinomio de un grado más alto, entonces el complejo método de integración sería más simple, ya que evita la integración por partes.

Para la segunda pregunta, definir$$ \el nombre inprod{g}{h} = \int_0^1 g(x) h(x) \,\d x, \quad \norma{g} = \sqrt{\smash[b]{\el nombre inprod{g}{g}}}. \quad \forall g,h \en L^2([0, 1]) $$ Debido a $f(x) = 1 - x \in L^2([0, 1])$, luego por la ortogonalidad de $\{ϕ_j\}$ y la identidad de Parseval,\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}}{} \norm{f - (A_1 ϕ_1 + A_2 ϕ_2 + A_3 ϕ_3)}^2\\ &= \norm{\sum_{j = 1}^∞ A_j ϕ_j - (A_1 ϕ_1 + A_2 ϕ_2 + A_3 ϕ_3)}^2 = \norm{\sum_{j = 4}^∞ A_j ϕ_j}^2\\ &= \sum_{j = 4}^∞ A_j^2 \norm{ϕ_j}^2 = \sum_{j = 1}^∞ A_j^2 \norm{ϕ_j}^2 - \frac{1}{2} (A_1^2 + A_2^2 + A_3^2)\\ &= \norm{f}^2 - \frac{1}{2} (A_1^2 + A_2^2 + A_3^2)\\ &= \int_0^1 (1 - x)^2 \,\d x - \frac{1}{2} \left( \frac{4}{π^2} + \frac{1}{π^2} + \frac{4}{9π^2} \right)\\ &= \frac{1}{3} - \frac{49}{18π^2}, \end{align*} es decir,$$ \norma{f (A_1 ϕ_1 + A_2 ϕ_2 + A_3 ϕ_3)} = \sqrt{\frac{1}{3} - \frac{49}{18π^2}}. $$

A la tercera pregunta, ya que para cualquier $n \geqslant 1$,$$ \lim_{x → 0^+} (f_n(x) - f(x)) = \sum_{j = 1}^n \frac{2}{jn} \lim_{x → 0^+} \sin(jnx) - \lim_{x → 0^+} (1 - x) = -1, $$ y $f_n$ e $f$ son continuas en a$x = 0$, entonces existe $a_n \in (0, 1)$ tal que $|(f_n(a_n) - f(a_n)) - (-1)| < 0.5$, lo que implica$$ |f_n(a_n) - f(a_n)| \geqslant|-1| - |(f_n(a_n) - f(a_n)) - (-1)| > 0.5. $$