Algo desconcertante, en relación con el teorema de la divergencia. Por lo general, uno escribe el teorema de la divergencia como \begin{equation} \int_\mathcal{M} d^4x \sqrt{-g} \nabla_\mu v^\mu=\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu v^\mu \tag{3.22} \end{equation} para algunas campo de vectores $v^\mu$, donde $d\Sigma^\mu$ es la orientación del elemento de superficie. Véase, por ejemplo, la ecuación de $(3.22)$ en Un Relativista del kit de herramientas de Eric de Poisson. Yo estaba considerando la posibilidad de girar el Lagrangiano de Maxwell en un límite de plazo, suponiendo que estoy en la cáscara. Con el fin de hacer eso, tenemos \begin{equation} \begin{split} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}&=2\int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g}F^{\mu \nu}\nabla_\mu A_\nu\\ &=2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu \left(F^{\mu \nu}A_\nu \right)\\ &-2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g} \nabla_\mu F^{\mu \nu}A_{\nu} \, \end{split} \end{equation} donde yo sólo utiliza la simetría de los símbolos de Christoffel y el anti-simetría del tensor de Faraday. Ahora, usando la ecuación de movimiento \begin{equation} \nabla_\mu F^{\mu \nu}=0 \end{equation} y el teorema de la divergencia, yo debería ser capaz de escribir \begin{equation}\label{puzzle} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation} Ahora podemos considerar una solución magnética dada por \begin{equation} A=Q(1-\cos{\theta}) d\phi \end{equation} \begin{equation} F=dA=Q\sin{\theta} d\theta \wedge d\phi\,. \end{equation}
Dada esta solución, hemos \begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=2\frac{Q^2}{r^4}\, \end{equation} suponiendo una métrica de la forma \begin{equation} ds^2=-f(r)dt^2+\frac{1}{f(r)}dr^2+r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\,. \end{equation} Estoy realmente tratar de Reissner-Nordstrom agujeros negros con carga magnética, pero creo que mi confusión se mantiene de manera más genérica. Mi confusión es que si puedo tomar algún límite en constante $r$, o simplemente un límite tal que su normal parece \begin{equation} n_{\mu}=\alpha dt + \beta dr\,, \end{equation} a continuación, el lado derecho de \begin{equation} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation} parece rendimiento cero trivialmente porque $F$ sólo tiene componentes angulares. Sin embargo, creo que es muy fácil llegar a una región de espacio-tiempo $\mathcal{M}$ tal que el lado izquierdo no se desvanecen. ¿Qué hice mal en este razonamiento? Pensé que podría tener que ver con la suavidad del campo de vectores $v^{\mu}=F^{\mu \nu}A_{\nu}$ en el que estamos aplicando la Stokes teorema, pero desde que vi el teorema de la divergencia se indicó anteriormente sin ningún tipo de suposiciones sobre el vector de campo, no estoy seguro de si este es el problema. El campo de vectores rendimientos \begin{equation} v=\frac{Q^2}{r^4 \sin{\theta}}(1-\cos{\theta})\frac{\partial}{\partial \theta}\,, \end{equation} Es posible ver que $v$ tiene una singularidad en $\theta=\pi$. Esto podría ser una coordenada artefacto, pero es fácil ver que $g_{\mu \nu}v^\mu v^\nu$ también tiene ese punto singular. Por esta razón, creo que podría ser problemático para aplicar el teorema de la divergencia a $v$. Estoy teniendo el problema?
EDIT1: estoy pensando en una región $\mathcal{M}$ de espacio-tiempo que no contenga el origen. Ya estoy pensando en esto en el contexto de un agujero negro, no quiero incluir la singularidad $r=0$ en el parche sobre la cual yo soy la integración. Como ejemplo de este procedimiento, consulte la sección Eq. $(5.15)$ de https://arxiv.org/abs/1606.08307 donde eléctrica de la solución es de suponer. Ahora bien, si suponemos una eléctrica de la solución, tenemos \begin{equation} A=\left(\frac{Q}{r_{+}}-\frac{Q}{r} \right)dt \end{equation} \begin{equation} F=dA=\frac{Q^2}{r^2}dr \wedge dt \end{equation} donde $r_{+}$ es el horizonte de sucesos. Por lo tanto \begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=-2\frac{Q^2}{r^4}\,, \end{equation} lo que significa que la mayor parte de la integración en $\mathcal{M}$ sólo cambia por una señal con respecto a la solución magnética. Esto está relacionado con la dualidad electromagnética. Sin embargo, en este caso utilizando el teorema de Stokes nos lleva a un no-cero límites de contribución, como se debe, creo yo. Ahora mi enigma es por qué en un caso se puede utilizar de Stokes y el otro se parece a fallar. Resulta que en este caso, el vector de campo en las que se le aplica Stokes \begin{equation} v=\frac{Q}{r^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{+}} \right) \frac{\partial}{\partial r} \end{equation} que parece ser suave todo el mundo si nos fijamos en $g(v,v)$, el uso de un buen sistema de coordenadas.
EDIT2: de Acuerdo a la Introducción de Suavizar los Colectores por John M. Lee, el vector de campo debe ser suave. Pero si ese es el caso, cuando usamos el principio variacional para derivar las ecuaciones de Maxwell, suponemos que $F^{\mu \nu}\delta A_\nu$ es suave para convertirlo en un término que se desvanece. Por supuesto, aquí estamos off-shell, pero todavía me parece extraño que $F^{\mu \nu}A_\mu$ resulta no ser suave para una puramente magnético de la solución. ¿Tienes algún conocimiento?
