Función con pequeño período arbitrario

Question

¿Existe una función f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con un período arbitrario pequeño diferente de $f(x) = k$ ? ( $\forall \epsilon >0 \exists a < \epsilon$ tal que f (x) tiene una periodicidad $a$ ) Creo que la función es la función de Dirichlet pero no sé cómo probarlo correctamente.

Answer 1

Tienes razón. La función característica de los racionales es periódica del período $1/n$ para todos $n \in \mathbb N$ porque $x$ es racional si f $x+1/n$% es racional.

Answer 2

Usted está en lo correcto.

Deje $\epsilon$ ser arbitrariamente pequeño. Usted necesita demostrar que existe una $0<p<\epsilon$ tal que $D(x)=D(x+p)$ para todos los $x\in \mathbb{R}$.

Sabemos que $\epsilon$ es algún número real positivo, entonces existe una $p\in \mathbb{Q}$ tal que $0<p<\epsilon$. Veamos un arbitrario $x\in \mathbb{R}$ y ver si nuestra propiedad está satisfecho o no:

Si $x$ es racional, entonces $D(x)=1$. Ya que la suma de dos racionales es racional, entonces $D(x+p)=1$ .

Si $x$ es irracional, entonces $D(x)=0$. Ya que la suma de un racional y un irracional es irracional, entonces $D(x+p)=0$ .

Así que si elegimos a nuestros período de $p$, de nuestra propiedad está satisfecho.

Answer 3

La principal pregunta ha sido respondida en otras respuestas bastante bien, pero me gustaría hablar de algunos naturales de preguntas de seguimiento. ¿Qué acerca de la continua funciones de $f$ con esta propiedad?

Resulta que en este caso no hay soluciones no triviales - cada función es constante. He aquí un topológica de la prueba: Vamos a $K=\{x\in\Bbb R\mid \forall y, f(y)=f(x+y)\}$ el conjunto de los períodos de $f$. Si $f$ es continua, entonces este es un punto de intersección de los conjuntos de $\{x\in\Bbb R\mid f(y)=f(x+y)\}$, que es cerrado (es la preimagen de $\{0\}$ dentro de la función de $g(x)=f(y)-f(x+y)$), por lo $K$ está cerrada. $K$ también es denso en $\Bbb R$, debido a que es un aditivo grupo con arbitrariamente pequeños elementos, por lo $K=\Bbb R$ y, por tanto, $f(x)=f(y)$ para todos los $x,y\in \Bbb R$.

Si consideramos funciones discontinuas de nuevo, entonces sabemos $K$ es un denso subgrupo aditivo de $\Bbb R$. Cada densa aditivo subgrupo generar una función de este tipo? Sí, se puede tomar la función característica de a$K$. Para una fija $K$, el espacio de tales funciones es solo todas las funciones $\Bbb R/K\to \Bbb R$. Esta es otra manera de llegar a la constancia del resultado, ya que como un grupo topológico, $\Bbb R/K$ tiene la topología indiscreta, porque cualquier conjunto abierto cubrirá $\Bbb R$ si se copia de todo con traducciones por $K$.

De curso $\Bbb R/K$ pueden ser innumerables, por ejemplo si $K=\Bbb Q$ o cualquier otro contables subgrupo. Puede ser contables o finito? Se puede contables suponiendo que alguna opción, como se observa en TomGrubb la respuesta. Si consideramos una base de Hamel $B$ de $\Bbb R$ sobre $\Bbb Q$, entonces el conjunto de todos los números reales con cero de la primera proyección es un subgrupo $K$ de $\Bbb R$ para que $\Bbb R/K\simeq \Bbb Q$.

Pero no puede ser finito (a menos que sea trivial). En otras palabras, no es coherente hablar de los números reales se divide en el "par" e "impar". Si $\Bbb R/K$ ha $n>1$ elementos, entonces eso significa que cada número es un múltiplo de a$n$ es de $K$; pero cada número real es un múltiplo de a$n$, es decir, $x=n(x/n)$.

Answer 4

Otra manera de verlo es pensar en el conjunto de los períodos, es decir,

$$P = \{ p \in \mathbb{R} | f(x + p) = f(x) \text{ for all } x \in \mathbb{R} \}$$

El cero es claramente un miembro de este conjunto no importa lo que f es. P es cerrado bajo la suma y la negación. Claramente P es un grupo de más de adición. Por lo tanto, si usted quiere encontrar una función que se ha arbitrariamente pequeños períodos, usted quiere encontrar un subgrupo de $\mathbb{R}$ que ha arbitrariamente los valores pequeños. $\mathbb{Q}$ es la opción obvia, por lo que la función característica para $\mathbb{Q}$ obras, como se indica en otra respuesta.

Answer 5

Aquí está una función diferente con la misma propiedad (la cual se basa en un poco justo de elección). Elegir una base de Hamel para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ y escoger una base de vectores $v$. Deje $f$ ser la función que proyecta en el $v$ de coordenadas. Entonces para cualquier otra base de vectores $u$ y cualquier entero $n$, $$f(x+u/n)=f(x).$$ Se puede encontrar más información sobre estas funciones, en el artículo "Discontinuo aditivo de funciones" por parte de Bernardi.