Manera sencilla de explicar el producto vacío.

Question

Entiendo que $$3^2=9 \text{ because } 3\times3=9

Pero, ¿es posible explicar en los mismos términos simples cómo $3^0=1$ ?

Answer 1

$x^0$ no significa nada antes de definir lo que significa. Podemos definir a decir nada, pero normalmente queremos definir las cosas de tal forma que tengan sentido.

Comenzaremos por definir $x^k$ como $\underbrace{x\cdot x \cdots x}_{k\text{ times}}$ porque es una manera útil de escritura el producto.

Usando esta definición, podemos observar la siguiente propiedad interesante:

Para cualquier par de enteros $k_1, k_2$ tal que $k_1 > k_2$ y cualquier número real positivo $x\in \mathbb R$ tenemos $$\frac{x^{k_1}}{x^{k_2}} = x^{k_1-k_2}$$

Ahora, nos gusta esta propiedad. Queremos que esta propiedad de ser verdadero para otros pares de $k_1, k_2$. Para que esta regla también es cierto si $k_1=k_2$, tenemos que definir $x^0=1$, así que eso es lo que definimos como. Lo hacemos porque es útil.

Answer 2

$$3=3^1=3^{1+0}=3^1\times3^0=3\times3^0$$ implying that $3 ^ 0 = 1$ .

Answer 3

La respuesta 5xum es la correcta, pero intentaré darte una forma más intuitiva de obtener $x^0 = 1$

Tenemos $$x^k = \underbrace{x\times x \cdots x}_{k\text{ factors of }x} = 1 \underbrace{ \times x\times x \cdots \times x}_{k\text{ multiplications by }x}

Por lo tanto $$x^0 = 1 \underbrace{ \times x\times x \cdots \times x}_{0\text{ multiplications by }x} = 1

Answer 4

El valor de la vacía producto realmente es una consecuencia de la propiedad asociativa de la multiplicación: Para ver esto, considere lo siguiente: Para cualquier vacío, conjunto finito $A$ de los números, vamos a definir $${\displaystyle \prod_{a \in A} a}$$ as the product of all numbers in $Un$. Note that $$ really needs to be nonempty (at least for now), otherwise this definition doesn't make any sense. Then, if we have another disjoint set $B$, the product of all numbers in $A\cup B$ will be $${\displaystyle \prod_{x \in A \cup B} x}= \left( {\displaystyle \prod_{a \in A} a} \right) \left( {\displaystyle \prod_{b \in B} b} \right).$$ For example let's take the two sets $M:=\{x,y\}$ and $N:=\{z\}$. Then $M\cup N = \{x,y,z\}$, and by the associative law $${\displaystyle \prod_{p \in M \cup N}p } = x*y*z=(x*y)*(z)= \left( {\displaystyle \prod_{m \in M} m} \right) \left( {\displaystyle \prod_{n \in N} n} \right).$$ Now, let's try to extend this notation to the empty set $\{\}$. What should ${\displaystyle \prod_{x \in \{\}} x}$ be? If we want to keep the rule $${\displaystyle \prod_{x \in A \cup B} x}= \left( {\displaystyle \prod_{a \in A} a} \right) \left( {\displaystyle \prod_{b \in B} b} \right),$$ then there is only one natural choice: Since for any set $M$ we have $M = M \copa \{ \}$, it follows that $${\displaystyle \prod_{m \in M} m} \ = {\displaystyle \prod_{x \in M \cup \{\}} x}\ = \left( {\displaystyle \prod_{m \in M} m} \right) \left( {\displaystyle \prod_{x \in \{\}} x} \right).$$ For this to hold the empty product ${\displaystyle \prod_{x \in \{\}} x}$ has to be equal to the multiplicative identity, $1$. By the same argument, the empty sum is equal to the additive identity, $0$.

Answer 5

Para aumentar la potencia por uno, se multiplica por 3, por ejemplo, $3^2\times3=3^3$. Para disminuir el poder por uno, dividir por 3, por ejemplo, $3^{2}\div3=3^1$. Si repites esto, $3^{1}\div3=3^0$.

Usted puede ver de esta manera:

$$3^3=3\times3\times3$$

$$3^2=3\times3$$

$$3^1=3$$

$$3^0=3\div3$$

$$3^{-1}=3\div3\div3$$