Evaluación de $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}}e^{-(x^2+y^2)} \, dy \, dx\ $ utilizando coordenadas polares

Question

Utilice las coordenadas polares para evaluar $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}}e^{-(x^2+y^2)} \, dy \, dx\ $

Entiendo que tenemos que cambiar $x^2+y^2$ a $r^2$ y entonces obtenemos $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} e^{-(r^2)} \, dy \, dx\ $ . Entonces sé que tengo que cambiar los límites con respecto a $dy$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo y más. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Dejemos que $x=r\cos \theta$ y $y=r\sin \theta$ y luego $dxdy=rdrd\theta$ así que

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}e^{-(x^2+y^2)}dydx=\int_0^1\int_0^{\pi/2}e^{-r^2}rdrd\theta=\frac{\pi}{-2\times2}\left[e^{-r^2}\right]_0^1=\frac{\pi}{4}\left(1-e^{-1}\right)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $y$ va de $0$ a $\sqrt{1-x^2}$ y luego $x$ va de $0$ a $1$ . Reconocemos $y=\sqrt{1-x^2}$ como la mitad superior del círculo unitario con centro en el origen.

Así que nuestra integral dada se toma sobre la parte del primer cuadrante del círculo unitario. La variable $r$ irá $0$ a $1$ y $\theta$ irá $0$ a $\pi/2$ .

No olvide reemplazar $dy\,dx$ por $r\,dr\,d\theta$ .

Answer 3

Pistas:

$$\bullet\;\;\;x=r\cos\theta\;,\;\;y=r\sin\theta\;,\;0\le\theta\le \frac\pi2\;\text{(why?). The Jacobian is}\;\;|J|=r$$

Así que la integral es

$$\int\limits_0^1\int\limits_0^{\pi/2}re^{-r^2}drd\theta$$