Hace casi 25 años y un profesor en Indiana U me mostró el siguiente problema:
dado un mapa de $\mathbb{Z}^2\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la suma dentro de cada cuadrado (paralelo a los ejes) es de $\leq1$ en valor absoluto, demostrar que la suma dentro de cada rectángulo (paralelo a los ejes) es de $\leq4$ en valor absoluto.
Es divertido y no demasiado difícil de probar. Yo creo que en el momento en que fue capaz de demostrar que el límite superior puede ser mejorado para 3.975 - pero que era mucho más difícil y yo no puedo decir ahora que esto es para asegurarse de que el caso. También, con un equipo de búsqueda (antiguo TRS 80) me produce un ejemplo que contiene un rectángulo de área $3\frac{1}{3}$.
Estas son algunas de las preguntas que vienen a la mente:
- puede el límite superior de 4 (o 3.975?) ser mejorado?
- puede el límite inferior de $3\frac{1}{3}$ ser mejorado?
- cualquier prueba/conjetura sobre el límite óptimo?
- los resultados se extienden a los mapas de $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, siempre que se lo "bonito" es suficiente?
- otras generalizaciones de este problema posible (por ejemplo. diferentes embaldosados del plano o de otros colectores, o más dimensiones)?
Actualización 1 (actualizado el 7 de Marzo de 2010). Ver las respuestas y comentarios de abajo para los ejemplos alcanzar proporciones tan altas como 181/48 = 3.7708333...!
Update 2. Aquí es un boceto de la prueba de que el 4 es un límite superior. Un límite de 254/67=3.79104477... ahora es conocido (ver las respuestas abajo), pero la prueba para la que se necesita para ser sembradas con al menos algunos límite conocido.
Dado un rectángulo R de tamaño AxB, con a < B, lo llaman "fino" si $B\geq2A$ o "grasa" si $B\leq2A$ (caso B=2A es irrelevante, como lo es la unión de 2 plazas). Uno puede sacar los 4 cuadrados sobre los lados de R, ya sea hacia el exterior (tamaño de sobres = (2B+A)x(2A+B)), o hacia dentro (algunos se derrame en los lados opuestos, tamaño de sobres = (2B-A)xB) - llamar a estos "grandes sobres" y la "envolvente".
Suponga que R tiene la suma 4+$\epsilon$ y que cada cuadrado tiene suma entre -1 y 1. Tenemos 3 casos, todos los ejercicios fáciles para trabajar:
(1) para cualquier R, la grasa (2A+B)x(2B+A) big-sobres tendrán suma de $\leq-4-3\epsilon$.
(2) para una grasa R, a (2A-B)x(2B-A) sub-rectángulo de la pequeña sobres tendrán suma de $\leq-4-3\epsilon$;
(3) para un delgado R, delgado (B-2A)x(2B-A) sub-rectángulo de la pequeña de la envolvente, se tiene la suma de $\geq4+3\epsilon$;
La aplicación de cualquiera de (1)+(2), (2)+(1) o (3)+(3) produce un rectángulo con 3Ax3B suma de $\geq4+9\epsilon$. La iteración n veces produce un $3^{n} \times 3^{n}B$ rectángulo con la suma de $4+9^{n}\epsilon$. Dicho rectángulo es de no más de AxB cuadrados (cada uno del tamaño de $3^{n} \times 3^{n}$) y por lo tanto, lo suficientemente grande como n, una de las plazas tendrán suma >1. $\square$
Reformulación . Dado un abelian grupo G y un mapa
f: GxGxGxG -> $\mathbb{R}$ tal que
1) -1<=f(a,b,c,d)<=1 si d*a=c*b (acotamiento de los cuadrados),
2) f(a,b,c,d)+f(c,b,e,d)=f(a,b,e,d) para todo a, b, c, d, e en G (horizontales de la suma de los rectángulos),
3) f(a,b,c,d)+f(a,d,c,e)=f(a,b,c,e) para todo a, b, c, d, e en G (vertical de la suma de los rectángulos),
podemos encontrar un universal mejores enlazado b(G) tal que b(G) <= f <= b(G)?
Todo el trabajo previo sobre esta cuestión que constituye el resultado: 181/48 <= b($\mathbb{Z}$) <= b($\mathbb{Z}x\mathbb{Z}$) <= 254/67
Para no abelian grupos uno podría generalizar la noción de la "plaza" mediante el levantamiento de G/[G,G].
