Encontrar la distribución mixta de poisson condicionales

Question

Supongamos que dos discretas variables aleatorias $X_1$$X_2$, sabemos de sus distribuciones condicionales. Es decir, $$X_1~|~X_2 = x_2 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1 + ax_2),$$ $$X_2~|~X_1 = x_1 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_2 + bx_1).$$

Queremos calcular su distribución conjunta, $p(X_1, X_2)$.

Mi idea es dividir las ecuaciones de arriba y encontrar $\frac{p_{X_1}(x_1)}{p_{X_2}(x_2)}$ y, a continuación, suma sobre todos los valores de $X_1$ encontrar $1/p_{X_2}(x_2)$. Pero para eso, tengo que calcular una muy mala serie.

¿Tiene usted alguna idea para este problema?

P. S. La serie tengo que calcular es de la forma $$\sum_{n=0}^\infty \frac{c^n}{n!(a+nb)^k},$$ que me cuesta creer que tienen una forma cerrada.

Answer 1

Sus supuestos rápidamente conduce a contradicciones, excepto para ciertos valores de $a$$b$. Teniendo en cuenta que la función de masa de probabilidad conjunta y condicional de las distribuciones son proporcionales, podemos derivar una expresión para $p(x_1,x_2)$ en términos de $p(0,0)$ en dos maneras. A partir de la supuesta condicional distribuciones de Poisson se sigue que \begin{equation} \frac{p(0,x_2)}{p(0,0)} = \frac{p_{X_2|X_1=0}(x_2)}{p_{X_2|X_1=0}(0)} = \frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{x_2}/x_2!}{e^{-\lambda_2}} = \lambda_2^{x_2}/x_2!. \end{equation} Del mismo modo, \begin{equation} \frac{p(x_1,x_2)}{p(0,x_2)} = \frac{p_{X_1|X_2=x_2}(x_1)}{p_{X_1|X_2=x_2}(0)} = \frac{e^{-(\lambda_1+a x_2)}(\lambda_1+a x_2)^{x_1}/x_1!}{e^{-(\lambda_1+a x_2)}} = (\lambda_1+a x_2)^{x_1}/x_1! \end{equation} Por lo tanto, \begin{equation} p(x_1,x_2) = \frac{(\lambda_1+a x_2)^{x_1}\lambda_2^{x_2}}{x_1!x_2!}p(0,0). \end{equation} Haciendo el mismo argumento, pero pasando a través de $p(x_1,0)$ conduce a \begin{equation} p(x_1,x_2) = \frac{\lambda_1^{x_1}(\lambda_2+b x_1)^{x_2}}{x_1!x_2!}p(0,0). \end{equation} Las dos últimas ecuaciones de las dos puede ser cierto sólo si \begin{equation} (\lambda_1+a x_2)^{x_1}\lambda_2^{x_2} = \lambda_1^{x_1}(\lambda_2+b x_1)^{x_2} \end{equation} para todos los $(x_1,x_2)$ que solo es posible si $a=b=0$, es decir, si $X_1$ $X_2$ son independientes. De lo contrario, el supuesto de que el condicional distribuciones de Poisson conducir a una contradicción y por lo tanto son incompatibles.