El autor de mi libro escribe:
$$x^2+1=x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$$
$$=\frac{1}{x^2}\left[1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^6}+\cdots\right]$$
No entiendo el último paso. ¿Cómo escribió el autor el último paso? Por favor, ayuda.
Respuestas
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No creo que sean iguales. Como otros han dicho $$ \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} \dots \text{ for } \left\lvert \frac{-1}{x^2} \right\rvert < 1 $$
por lo que para $x = \sqrt{2}$
$$ \frac{1}{x^2} \left( 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} \dots \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{3}. $$
Sin embargo, $x^2+1 = 3 \neq \frac{1}{3}$ .
Anthony Cramp
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La fórmula no es correcta. Tome la suma de a serie geométrica :
$$\sum_{i=0}^{\infty} ar^i=\frac{a}{1-r}$$
Trabajemos hacia atrás desde tu última ecuación:
$$\frac{1}{x^2}\left[1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^6}+\cdots\right]=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{x^{4}}\right)^i-x^2\sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{x^{4}}\right)^i+x^2\right]=$$
Las dos sumas entre paréntesis son simplemente sumas geométricas con $r=\frac{1}{x^4}$ Así que..:
$$\left[\sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{x^{4}}\right)^i-x^2\sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{x^{4}}\right)^i+x^2\right]=\left[\frac{1}{1-\frac{1}{x^4}}-\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^4}} +x^2\right]=\left[\frac{1-x^2+(1-\frac{1}{x^4})x^2}{1-\frac{1}{x^4}}\right]$$
La última ecuación se simplifica a:
$$\left[\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^4}}\right]=\frac{x^2}{1+x^2}\implies x^2+1=\frac{1}{x^2+1}???$$ Esto no es correcto
Aaron Maroja
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Puede escribir $$x^2 + 1 = x^2(1 + \frac{1}{x^2})$$
como $$\frac{1}{(1 + \frac{1}{x^2})} = \frac{x^2}{1 + x^2}$$
y $$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x^{2n}}$$
Editar: Para evitar más downvotes, el autor se ha equivocado, está claro que la ecuación no se sostiene, esto sólo fue un intento de reinterpretar lo que fuera la intención del autor.
