Sobre una demostración del teorema de Riesz-Fischer

Question

Preguntas : [Véase el contexto más abajo].

$\rm\color{#c00}{a)}$ En primer lugar, está la prueba presentada a continuación $100$ ¿es correcto?

$\rm\color{#c00}{b)}$ ¿Cómo se puede justificar el LHS de $(2)$ ? ¿Son correctos mis pensamientos?

Pensamientos : Una forma de verlo es en tres tiempos : primero notamos que $(\cdot)^{1/p}$ es continua, entonces aplicamos el Teorema de Convergencia Monótona (MON) y finalmente observamos que $|\cdot|^p$ es continua, por lo que en conjunto podemos llevar el límite hasta el final (aunque $\displaystyle\sum_{k\geq1} |f_k|$ es infinito en este caso).

Otra forma de verlo es observando que toda norma es (Lipschitz) continua, por lo que efectivamente podemos llevar el límite dentro (aunque sea infinito en este caso).

$\rm\color{#c00}{c)}$ ¿Por qué debemos tomar el valor absoluto de $f_k$ al investigar $\displaystyle\sum|f_k|$ ? ¿Son correctos mis pensamientos?

Pensamientos : Creo que MON no aplicaría para $\rm\color{#c00}{b)}$ y creo que si no tomamos el valor absoluto, entonces no podríamos hablar, a priori del límite, es decir, $\displaystyle\sum_{k\geq1} f_k$ , en $(2)$ . Tomando el valor absoluto se obtiene una serie con términos positivos y dicha serie converge o diverge a $\infty$ . Una serie con términos negativos podría divergir oscilando.

$\rm\color{#c00}{d)}$ En $(4)$ , definiendo $F$ por $0$ es puramente arbitrario, ¿verdad? Podríamos definir $F$ para ser cualquier cosa en el conjunto nulo, ¿verdad? También, $\displaystyle\sum_{k\geq1} f_k$ existe en el conjunto dado, ya que la convergencia absoluta implica la convergencia de las series de números, ¿no?

$\rm\color{#c00}{e)}$ La igualdad $(5)$ es cierto ya que $$ F-\sum_{k=1}^{n}f_k=\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k $$ casi en todas partes, ¿verdad?

$\rm\color{#c00}{f)}$ ¿Sería justo decir que lo que era suficiente para probar era $\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|<\infty$ a.e., [ Añadido: ] y que la razón por la que la prueba no es trivial es que $L^p(\mu)$ contiene, por definición, finito-valorado ¿funciones? Es decir, en la teoría de la medida trabajamos con funciones con rango en la recta real extendida, $[-\infty,\infty]$ y si permitimos que las funciones en $L^p(\mu)$ para tomar valores infinitos, entonces de hecho toda serie sería convergente (trivialmente) en $L^p(\mu)$ . ¿Es esto correcto?

Def. : Dejemos que $(X,\cal{A},\mu)$ sea un espacio medido. Entonces para $1\leq p<\infty$ definimos $$ L^p(\mu):=\{f:X\to\mathbb{R}\text{ measurable and s.t. }\|f\|_p<\infty\}, $$ donde $\|f\|_p:=\left(\int|f|^pd\mu\right)^{1/p}$ . Como es habitual, tomamos realmente clases de equivalencia de funciones que difieren sólo en un conjunto nulo.

Thm (Riesz-Fischer) : $(L^p(\mu),\|\cdot\|_p)$ está completo para $1\leq p<\infty$ .

Dem. : Sabemos que basta con demostrar que toda serie absolutamente convergente converge.

Dejemos que $(f_k)_{k\geq1}\subset L^p(\mu)$ sea una secuencia tal que $$ \sum_{k=1}^{\infty}\|f_k\|_p<\infty.\tag{0} $$ Dado que, por la desigualdad de Minkowski, se tiene $$ \left\|\sum_{k=1}^n|f_k|\right\|_p\leq\sum_{k=1}^n\|f_k\|_p,\tag{1} $$ dejando $n\to\infty$ da $$ \left\|\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|\right\|_p\leq\sum_{k=1}^{\infty}\|f_k\|_p<\infty,\tag{2} $$ así $$ \sum_{k=1}^{\infty}|f_k|<\infty\quad\text{a.e.}\tag{3} $$ Ahora defina $$ F:=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k\geq1}f_k&\text{on }\left\{\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|<\infty\right\},\\0&\text{otherwise}.\end{cases}\tag{4} $$ Entonces $F$ está en $L^p(\mu)$ desde $|F|\leq\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|$ y por $(2)$ . También, $F$ es tal que $$ \sum_{k=1}^{\infty}f_k=F, $$ porque \begin{align} \left\|F-\sum_{k=1}^{n}f_k\right\|_p&=\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k\right\|_p\tag{5}\\ &\leq\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}|f_k|\right\|_p\\ &\stackrel{(2)}{\leq}\sum_{k=n+1}^{\infty}\|f_k\|_p\xrightarrow[(n\to\infty)]{(0)}0.\quad\text{Q.E.D.} \end{align}

Answer 1

1. Sí.
2. Esto no tiene nada que ver con la continuidad; sólo con el teorema de convergencia monótona. Obsérvese que no podemos utilizar esa continuidad de la $L^p$ -norma: Para deducir $$\|g_n\|_p \to \|g\|_p$$ de la continuidad de la norma, ya tenemos que conozca que $g_n \to g$ en $L^p$ (recordemos que la norma es continua como un mapeo $\|\cdot\|: (L^p,\|\cdot\|_p) \to (\mathbb{R},|\cdot|)$ . La argumentación es la siguiente: Por la desigualdad de Minkowski, $$\left\| \sum_{k=1}^n |f_k| \right\|_p \leq \sum_{k=1}^n \|f_k\|_p \leq \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p. \tag{1}$$ Desde $|f_k| \geq 0$ Sabemos que $$\sum_{k=1}^n |f_k| \uparrow \sum_{k=1}^{\infty} |f_k| \qquad \text{as} \,\, n \to \infty. \tag{2}$$ Por lo tanto, se deduce del teorema de convergencia monótona que $$\left\| \sum_{k=1}^{\infty} |f_k| \right\|_p = \sup_{n \in \mathbb{N}} \left\| \sum_{k=1}^n |f_k| \right\|_p \stackrel{(1)}{\leq} \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p < \infty.$$
3. Sí, eso es correcto. La serie $\sum_{k=1}^{\infty} |f_k| \in [0,\infty]$ está bien definida, ya que cada sumando es no negativo. Además, la no negatividad es crucial en $(2)$ (de lo contrario no podemos aplicar el teorema de convergencia monótona).
4. Sí.
5. Sí.
6. No, no es tan fácil. Si te entiendo bien, te gustaría establecer $$F := \sum_{k=1}^{\infty} f_k$$ (como límite puntual) que puede tomar valores en $[-\infty,\infty]$ . El problema es que la serie $$\sum_{k=1}^{\infty} f_k$$ no es necesariamente convergente, considere por ejemplo $f_k = (-1)^k$ . Esto significa que $F$ no está bien definida en algún conjunto excepcional y tenemos que asegurar que este conjunto excepcional es pequeño (en $L^p$ -sentido). De eso trata exactamente la prueba anterior: Demostramos que el conjunto excepcional tiene medida $0$ .