Si$pqr(p+q+r)$ es un cuadrado y$p,q,r$ son números primos, ¿cuál es el valor máximo de$p+q+r$?

Question

Tenemos primos $p\leq q\leq r$ tal que $pqr(p+q+r)$ es un cuadrado perfecto. Encontrar $\max(p+q+r)$.

La única cosa que he notado es que los tres puede ser el mismo. Vamos a decir $pqr(p+q+r)=a^2$. Entonces si $p=q=r$, $a^2=3a^4$ pero $3$ no es un cuadrado.

Creo que podría ser capaz de mostrar que dos de ellos tienen que ser el mismo (inicio de $p<q<r$, muestran una contradicción), pero no estoy seguro de cómo explicar esto. Hay otros casos que creo que deben ser considerados, como $p=q<r$, pero no estoy seguro de cómo acercarse a ellos.

Sé que esto vino de algún tipo de concurso Australiano, pero no estoy seguro de cuál. Posiblemente la AMC?

Answer 1

Si$p<q<r$, entonces vamos a$a=pqrk$ donde$k$ es un número entero, tenemos$$p+q+r=pqrk^2$$ But $ p + q + r <3r$ which says that $ pqk ^ 2 <3$, forcing one of $ p$ and $ q$ be $ 1 $, contradicción.

Si$p=q$, entonces$p^2r(2p+r)=a^2$, esto genera$a=prk$, entonces \begin{align*}2p+r&=rk^2\\2p&=r(k^2-1)\end {align *}

Si$r=2$, entonces$p=k^2-1=(k+1)(k-1)$, esta fuerza$k-1=1$, lo que hace que$p=3$, ahora$p+q+r=3+3+2=8$.

Si$r$ es impar, entonces$k+1$ y$k-1$ serán ambos pares, por lo que$$p=2r\cdot\dfrac{k+1}2\cdot\dfrac{k-1}2$ $ Ya sea$r=1$ o$r>1$ conducirá a la contradicción. Por lo tanto, el valor máximo de$p+q+r$ es$8$.