Encontrar elemento con orden 12 del grupo multiplicativo usando CRT

Question

He estado estancado en esta pregunta durante mucho tiempo y realmente no entiendo cómo el resto chino está relacionado con el orden de una unidad.

Utilice el teorema del resto chino para encontrar un elemento de orden 12 en G = (Z / 105Z) ^ ×. ¿Hay elementos de mayor orden en G?

Aquí G es el anillo multiplicativo mod 105.

Answer 1

Por el teorema del Resto Chino, tenemos que $$\bigl(\mathbf Z/105\mathbf Z\bigr)^{\!\times}\simeq\bigl(\mathbf Z/3\mathbf Z\bigr)^{\!\times}\times\bigl(\mathbf Z/5\mathbf Z\bigr)^{\!\times}\times\bigl(\mathbf Z/7\mathbf Z\bigr)^{\!\times}$$ Como el orden de un elemento $(x,y,z)$ en el producto es el l.c.m. de las órdenes de $a,b,c$. Por Lagrange del teorema, el orden de $a$ es un divisor de a $2$, la orden de $b$ es un divisor de a $4$ ands el orden de $c$ es un divisor de a $6$, por lo que es suficiente para tomar $a=1$, $b$ de orden de $4$, por ejemplo,$b=2$, e $c$ orden $6$, decir $c=3$.

Primero vamos a resolver $\; x\equiv 1\mod 3,\quad x\equiv 2\mod 5$.

Una de Bézout relación entre el$3$$5$: $\;2\cdot 3 -5=1$, por lo tanto las soluciones son $$x\equiv 2\cdot 6-1\cdot 5=7\mod 15.$$

Ahora vamos a resolver: $\; x\equiv 7\mod 15,\quad x\equiv 3\mod 7$.

Una de Bézout relación entre el$15$$7$: $\;15-2\cdot 7=1$, por lo tanto las soluciones son: $$x\equiv 3\cdot 15-7\cdot14=-53\equiv \color{red}{52}\mod 105.$$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que$3$ tiene orden$6$ modulo$7$, y$2$ tiene orden$4$ modulo$5$. Resuelva el sistema simultáneo de congruencias$x\equiv 3\pmod{7}$,$x\equiv 2\pmod{5}$.