A veces la ecuación y la fórmula se utilizan indistintamente, pero me preguntaba si hay alguna diferencia.
Por ejemplo, supongamos que podemos calcular la eficiencia de combustible de un automóvil como:
mpg = distancia recorrida en millas / el combustible utilizado en un galón¿Es eso una ecuación o una fórmula?
Una ecuación es cualquier expresión con un signo de igual, así que tu ejemplo es, por definición, una ecuación. Las ecuaciones aparecen con frecuencia en matemáticas porque a los matemáticos les encanta usar signos de igual.
Una fórmula es un conjunto de instrucciones para crear un resultado deseado. Ejemplos no matemáticos incluyen cosas como fórmulas químicas (dos H y un O hacen H2O), o la fórmula de Coca-Cola (que es simplemente una lista de ingredientes). Puedes argumentar que estos ejemplos no son ecuaciones, en el sentido de que el hidrógeno y el oxígeno no son "iguales" al agua, sin embargo, puedes usarlos para hacer agua.
Los matemáticos hace tiempo se dieron cuenta de que cuando se trata de números, ciertas fórmulas pueden expresarse de manera más concisa como ecuaciones. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras $a^2+b^2=c^2$ puede considerarse como una fórmula para encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, pero resulta que esa longitud siempre es igual a una combinación de las otras dos longitudes, por lo que podemos expresar la fórmula como una ecuación. La idea clave es que la ecuación captura no solo los ingredientes de la fórmula, sino también la relación entre los diferentes ingredientes.
En tu caso, "mpg = distancia/galones" se entiende mejor como "una fórmula en forma de ecuación", lo que significa que en este caso las dos palabras son intercambiables.
También existe el significado técnico de "fórmula" como un arreglo bien formado de piezas léxicas de un lenguaje formal, que creo que posiblemente es más relevante en este caso. En cuyo caso, las ecuaciones son un caso especial de fórmula.
Una ecuación se supone que debe resolverse, es decir, hay algunas incógnitas. Una fórmula se supone que debe evaluarse, es decir, reemplazas todas las variables en ella con valores y obtienes el valor de la fórmula.
Tu ejemplo es una fórmula para mpg. Pero puede convertirse en una ecuación si se proporciona mpg y uno de los otros valores y se busca el valor restante.
Entonces, ¿es $y=3x+1$ la "fórmula para una línea en el plano" o una ecuación para una línea en el plano?
Y si tratas una fórmula como una ecuación, resolviendo para una variable para expresar en términos de otras variables, entonces tienes una nueva fórmula...
@Arturo, una ecuación, cuando tanto $x$ como $y$ son incógnitas, pero una fórmula para $y$ dada $x$.
Creo que el segundo es un poco diferente. Creo que una fórmula es una ecuación útil o algo por el estilo.
¿Sinónimos? $ax^2+bx+c=0$ es una ecuación cuadrática; $x={-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over2a}$ es la fórmula cuadrática.
Sin votos negativos. Creo que con el tiempo se pierde la distinción. Mi profesor de matemáticas, hace 35 años afirmó "las fórmulas se utilizan en química, en matemáticas tenemos ecuaciones". Hasta el día de hoy, la palabra 'fórmula' en matemáticas parece incorrecta, pero aceptaría que se utiliza comúnmente.
Una fórmula es una ecuación que muestra la relación entre dos o más cantidades. Sería la regla o instrucciones que se utiliza para mostrar la relación entre dos o más cantidades.
Una ecuación es un problema mostrado con números o símbolos con un signo de igual ($=$) incluido en alguna parte; generalmente cerca del final de la ecuación. A menos que sea una proporción o división.
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Según mathsisfun.com/algebra/equation-formula.html, una fórmula muestra una relación entre 2 o más variables, mientras que una ecuación no necesariamente.
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Me dijo mi guía que una expresión muy simple (para lo desconocido en términos de lo conocido) es mejor llamada ecuación en lugar de fórmula. Lo estoy anotando aquí ya que no vi tal distinción basada en la complejidad de la expresión en ninguna de las respuestas.