La última línea en el argumento de dar podría decir
$$
\sum_{n=1}^{44} \cos\left(\frac{\pi}{180}n\right)\,\Delta n \approx \int_1^{44} \cos n^\circ\, dn.
$$
Así, la suma de Riemann se aproxima la integral. El valor de $\Delta n$ en este caso es $1$, y si se tratara de cualquier cosa, sino $1$, todavía cancelar desde el numerador y el denominador.
Quizás lo que no seguir es que el $n^\circ = n\cdot\dfrac{\pi}{180}\text{ radians}$?
La identidad es, en última instancia, se reduce a la conocida tangente de la mitad de ángulo fórmula
$$
\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\tan\frac{\alpha+\beta}{2}
$$
y la regla de álgebra, que dice que si
$$
\frac a b=\frac c, d,
$$
a continuación, este valor es igual a
$$
\frac{a+c}{b+d}.
$$
Sólo que recorrer un montón de veces, hasta que esté hecho.
Así
$$
\frac{\sin1^\circ+\sin44^\circ}{\cos1^\circ+\cos44^\circ} = \tan 22.5^\circ
$$
y
$$
\frac{\sin2^\circ+\sin43^\circ}{\cos2^\circ+\cos43^\circ} = \tan 22.5^\circ
$$
así
$$
\frac{\sin1^\circ+\sin2^\circ+\sin43^\circ+\sin44^\circ}{\cos1^\circ+\cos2^\circ+\cos43^\circ+\cos44^\circ} = \tan 22.5^\circ
$$
y así sucesivamente.
Ahora echemos un vistazo a $\tan 22.5^\circ$. Si $\alpha=0$, entonces la tangente de la mitad de ángulo fórmula anterior se convierte en
$$
\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\tan\frac\beta2.
$$
Así
$$
\tan\frac{45^\circ}{2} = \frac{\sin45^\circ}{1+\cos45^\circ} = \frac{\sqrt{2}/2}{1+(\sqrt{2}/2)} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}.
$$
En el último paso hemos dividido la parte superior e inferior por $\sqrt{2}$.
Lo que usted tiene es el recíproco de este.
