Relación asintótica entre$\Phi(x,z)$ y$\Psi(x,z)$

Question

Definir,$\Phi(x,z):=\#\{n\le x: n \text{ is not divisible by any prime }<z\}$

$\Psi(x,z):=\#\{n\le x:\text{ if }p|n \text{ then }p<z\}$.

Demuestre que,$\displaystyle \Phi(x,z)=x\sum_{d|P_z,d\le x}\frac{\mu(d)}{d}+O(\Psi(x,z)).$ donde$\displaystyle P_z=\prod _{p<z}p$.

Después de algún cálculo obtuve la función$$\Phi(x,z)=x\sum_{d|P_z,d\le x}\frac{\mu(d)}{d}+O\left(\sum_{d|P_z}\mu(d)\right).$$ From here how can I deduce the relation between $ \ Psi $?

¿Alguna idea?

Answer 1

Supongo que se inicia mediante la inclusión-exclusión principio para calcular $\Phi(x,z)$, lo que \begin{align} \Phi(x,z) &= \sum_{d \mid P_z} \mu(d)\biggl\lfloor\frac{x}{d}\biggr\rfloor \\ &= \sum_{\substack{d \mid P_z \\ d \leqslant x}} \mu(d)\biggl\lfloor\frac{x}{d}\biggr\rfloor \end{align} desde $\bigl\lfloor\frac{x}{d}\bigr\rfloor = 0$$d > x$. A continuación, se puede dividir la $\lfloor t\rfloor = t - \lbrace t\rbrace$ y se utiliza $t$ para obtener el término principal $$x\sum_{\substack{d \mid P_z \\ d \leqslant x}} \frac{\mu(d)}{d}\,.$$ A continuación, sin embargo, usted cometido dos errores en la delimitación del término de error. Por un lado, para finito $S \subset \mathbb{N}$ no podemos concluir $$\sum_{d \in S} \mu(d)\biggl\lbrace\frac{x}{d}\biggr\rbrace \in O\Biggl(\sum_{d \in S} \mu(d)\Biggr)$$ sólo porque $0 \leqslant \lbrace t\rbrace < 1$. Normalmente es mucho cancelación en $\sum_{d \in S} \mu(d)$, y es posible que la magnitud y la pequeñez de $\bigl\lbrace \frac{x}{d}\bigr\rbrace$ está fuertemente correlacionada con el signo de $\mu(d)$, de modo que tenemos poco cancelación en $\sum_{d \in S} \mu(d)\bigl\lbrace \frac{x}{d}\bigr\rbrace$. En el caso de que $S$ es el conjunto de los divisores de un $n > 1$, la cancelación en $\sum \mu(d)$ es extrema, por $$\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 0 &\text{if } n > 1, \\ 1 &\text{if } n = 1. \end{cases}$$ Y $P_z > 1$$z > 2$, pero $$\sum_{d \mid P_z} \mu(d)\biggl\lbrace \frac{x}{d}\biggr\rbrace$$ rara vez se $0$. No obstante, se tiene la estimación trivial $$\Biggl\lvert \sum_{d \in S} \mu(d)\biggl\lbrace \frac{x}{d}\biggr\rbrace \Biggr\rvert \leqslant \sum_{d \in S} \biggl\lvert \mu(d)\biggl\lbrace \frac{x}{d}\biggr\rbrace \biggr\rvert \leqslant \# S\,.\tag{$\ast$}$$ El otro error que es el hecho de que se le cayó el $d \leqslant x$ restricción en la suma del término de error. Si mantenemos que, nos encontramos con $$\Biggl\lvert \Phi(x,z) - x\sum_{\substack{d \mid P_z \\ d \leqslant x}} \frac{\mu(d)}{d}\Biggr\rvert = \Biggl\lvert \sum_{\substack{d \mid P_z \\ d \leqslant x}} \mu(d)\biggl\lbrace \frac{x}{d}\biggr\rbrace \Biggr\rvert \leqslant \# \bigl\{ d \leqslant x : d \mid P_z\bigr\}$$ el uso de $(\ast)$. Y ahora lo único que falta es la observación de que $$\bigl\{ d \leqslant x : d \mid P_z\bigr\} \subseteq \bigl\{ n \leqslant x : p \mid n \implies p < z\bigr\}$$ lo que de inmediato los rendimientos $$\Biggl\lvert \Phi(x,z) - x\sum_{\substack{d \mid P_z \\ d \leqslant x}} \frac{\mu(d)}{d}\Biggr\rvert \leqslant \# \bigl\{ d \leqslant x : d \mid P_z\bigr\} \leqslant \Psi(x,z)\,.$$ Así que no sólo obtener las $O\bigl(\Psi(x,z)\bigr)$ error de enlazado, incluso obtener una explícita constante, el módulo del término de error está delimitado por $\Psi(x,z)$.