Sea $a,b,c>0$ y tal $a+b+c=1$ demostrar que $$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}\ge \dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$$ Sea $p=a+b+c=1,ab+bc+ac=q,abc=r$ $$\Longleftrightarrow -4q^3+q^2-3qr+2r\ge 0$$ parece difícil de probar.
por que digo que es dificil de probar: usar la desigualdad de Schur $$p^3-4pq+9r\ge 0\Longrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}$$ queda por demostrar que $$\dfrac{4q-1}{9}(2-3q)+q^2-4q^3\ge 0$$ De hecho, esta desigualdad no se puede sostener (4q-1)
Sea $a+b+c=3u$ , $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$ .
Por lo tanto, nuestra desigualdad es $\frac{9u^2+3v^2}{9uv^2-w^3}\geq3u\left(\frac{1}{3v^2}+\frac{1}{18u^2-12v^2}\right)$ ,
que equivale a $f(w^3)\geq0$ donde $f$ es una función lineal.
Pero la función lineal obtiene un valor mínimo para un valor extremo de $w^3$ .
$a$ , $b$ y $c$ son raíces positivas de la ecuación $(x-a)(x-b)(x-c)=0$ o $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ y vemos que la línea $y=w^3$ y gráfico de $y=x^3-3ux^2+3v^2x$ tienen tres puntos en común (¡dibújalo!).
Por lo tanto, un valor extremo de $w^3$ obtenemos para el caso de igualdad de dos variables
y tenemos que comprobar también el caso $w^3\rightarrow0^+$ .
$b=c$ . Tras la homogeneización podemos suponer $b=c=1$ lo que da $a(a-1)^2\geq0$ ;
$w^3\rightarrow0^+$ .
Sea $c\rightarrow0^+$ . Tras la homogeneización podemos suponer $b=1$ ,
que da $(a-1)^2\geq0$ . ¡Hecho!
Aunque no prefiero este método para las pruebas, ya que fomenta demasiado la "manipulación" como estilo, si se profundiza en él es perfectamente válido. No entiendo por qué alguien llegaría al extremo de descalificarlo. +1
El argumento de "dibújalo" es para mí, especialmente cuando se aplica a funciones con más de dos variables, palabrería - fomenta las llamadas "pruebas" como la de aquí math.stackexchange.com/questions/1805719/ Conozco el $u, v, w$ método y por qué funciona, pero si no fuera así, no aceptaría tanto que se hicieran gráficos para demostrar que $w^3$ se vuelve extremo si cuando dos de las variables son iguales o una cero.
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