$T:V\to W$, ambos tiene la misma base

Question

Supongamos que $W,V$ tienen la misma base ${u_1,u_2}$ y que $T:V \to W$ es una transformación lineal. Dar un ejemplo (no la transformación de la identidad) de

% a) $T = T^{-1}$ b) $T= T^2$

para un) deje de $T=T^{-1} \Rightarrow A=A^{-1}$ $A = \left[\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array}\right]$

$A=A^{-1} \Rightarrow A^2=I$ $A^2 = \left[\begin{array}{cc}a^2+bc&ba+bd\ca+cd&d^2+bc\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array}\right]$

$a^2+bc-bc-d^2=1-1 = a^2 - d^2 = (a-d)(a+d)=0\c(a+d)=0\b(a+d)=0$

Desde aquí aunque estoy un poco dudoso, como $ \left[\begin{array}{cc}2&3\0&-2\end{array}\right]$ satisfaría lo que conseguí resolver el sistema de $A \neq A^{-1}$ pero si hago $ \left[\begin{array}{cc}1&3\0&-1\end{array}\right]$ $A =A^{-1}$ y $A^2=I$

Voy a hacer (b) después de conseguir éste.

¡Gracias!

Answer 1

Es una buena práctica para trabajar a través de estos ejercicios utilizando el meollo de la cuestión álgebra, pero estas preguntas son también una buena oportunidad para desarrollar la intuición geométrica.

En particular, usted probablemente ha visto que tres importantes operaciones geométricas son transformaciones lineales:

1. Rotaciones sobre el origen $T=\left[\begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right]$;
2. Proyección sobre la línea se extendió por el vector $v$: $T=\frac{vv^T}{\|v\|^2}$;
3. La reflexión acerca de la línea perpendicular al vector $n$: $I - 2\frac{nn^T}{\|n\|^2}$.

Ahora la parte a) está pidiendo una transformación que es la misma que la de su inversa, es decir, cuando se aplica dos veces le da la identidad. Y la parte b) está pidiendo una transformación que hace la misma cosa cuando se aplica dos veces cuando se aplica una vez, en otras palabras, después de aplicar una vez, aplicar una segunda vez de no hacer nada adicional. Ejemplos de estos pueden ser fácilmente encontrados por pensar en el por encima de transformaciones geométricas.