Mapa continuo $f : S^n \rightarrow S^{n-1}$ con $f(-x) = -f(x)$

Question

Estoy estudiando para un examen de topología algebraica, y la siguiente pregunta me tiene perplejo.

El problema. Para $n \geq 1$ demostrar que no existe un mapa continuo $f : S^n \rightarrow S^{n-1}$ tal que $f(-x) = -f(x)$ para todos $x \in S^n$ .

El caso $n = 1$ es bastante obvio ya que $S^0$ está desconectado, pero no espero que esto sirva para $n \geq 2$ .

Me interesa cualquier respuesta, pero una basada en la topología algebraica sería especialmente útil.

Answer 1

Se trata de una aplicación del teorema de Borsuk-Ulam (puede encontrarse, por ejemplo, en el libro de Hatcher).

Thm: Un mapa $g:S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$ satisfaciendo $g(x)=-g(-x)$ tiene el grado de impar (es decir, el mapa inducido en el $(n-1)^{st}$ La homología es la multiplicación por un número impar).

Si un mapa $f:S^n\rightarrow S^{n-1}$ con $f(x)=-f(-x)$ existiría, entonces la restricción al ecuador $g:S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$ cumpliría los requisitos del teorema y, por tanto, sería impar. Por otro lado $g$ es nulo-homotópico, a través de la restricción de $f$ al hemisferio superior. Esto es una contradicción ya que $g$ induce ahora tanto la multiplicación por $0$ y por un número impar en la homología.

Answer 2

Dicho mapa inducirá un mapa continuo $g: \mathbb RP^n \to \mathbb RP^{n-1}$ .

Piensa en lo que ocurre cuando aplicas $\pi_1$ a $g$ : debe obtener el mapa cero, de lo contrario tendrá un isomorfismo en $H_1$ y por tanto un isomorfismo en $H^1$ y luego la contradicción de que $x^n = 0$ en $H^n(\mathbb RP^n, \mathbb Z/2) \subset \mathbb Z/2[x]/(x^{n+1})$ .

Ahora se deduce por la teoría del espacio de cobertura que $g$ factores a través de la cubierta $S^{n-1}\to \mathbb RP^{n-1}$ . Por la singularidad de los ascensores, la composición $S^n \to \mathbb RP^n \to S^{n-1}$ debe estar de acuerdo con $x\mapsto f(x)$ o $x\mapsto f(-x)$ ya que en un solo punto $t$ las posibles preimágenes de $g(t)$ son $f(t)$ y $f(-t)$ .

Pero entonces, vemos que el mapa $f$ deben llevar los puntos antípodas al mismo punto, y eso es una contradicción.