Demostrando lo evidente

Question

Es normal que se me tiene que el momento más difícil, cuando estoy tratando de demostrar enunciados que son descaradamente obvio en un visual y/o nivel intuitivo?

Por ejemplo, ¿cómo se hace formalmente demostrando la siguiente declaración?

Dado un conjunto $P$ de los puntos en el avión real que no colineales, demostrar que no es un subconjunto de a $P$ que se corresponde con el casco convexo de $P$. Por otra parte, que este polígono es el único (hasta puntos colineales).

Una intuitiva "prueba" sería "Estirar una banda de goma que contiene todos los puntos, y la liberación". Esto, al menos para mí, hace obvio que la declaración es verdadera, pero, por supuesto, no es muy riguroso.

Answer 1

Es normal que se me tiene que el momento más difícil, cuando estoy tratando de probar declaraciones que son descaradamente obvio en un visual y/o intuitivo nivel?

Sí, esto es bastante común.

• El Jordan curva teorema es un ejemplo clásico de un geométricamente obvio teorema es cierto, pero muy difícil de probar.

• La idea de que no existe espacio para el llenado de las curvas es un ejemplo clásico de un geométricamente obvio "teorema" que es de hecho falso.

Ahora, también pidió una pregunta específica, a saber:

Dado un conjunto P de puntos en el plano real que no colineales, demostrar que no es un subconjunto de P que corresponde a la convex hull de P. Además, que este polígono es el único (hasta colineales puntos).

Este es el resultado es bastante fácil de probar, pero sólo si usted sabe que el "truco" (de lo contrario, usted no tiene idea de cómo empezar). De todos modos, a ver que cada conjunto de $P \subseteq \mathbb{R}^2$ tiene un convex hull:

1. Deje $P$ denotar un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$.
2. Deje $K$ denotar la colección de todos los subconjuntos convexos $Q$$\mathbb{R}^2$$P \subseteq Q$.
3. Demostrar que la intersección de a $K$ sí es convexa, y definir que esta intersección es el casco convexo de $P$.

Answer 2

Para mostrar la singularidad es fácil, y no están cubiertos por otras respuestas. Si usted tiene dos polígonos convexos que contienen todos sus puntos, entonces su intersección es también un polígono convexo que contiene a todos los puntos.

Los dos originales de polígonos no puede ser mínima, a menos que coincidir.

El uso de goma de la banda de analogía, asumiendo $P$ es finito, se puede proceder como sigue.

Primera contener sus puntos en un número finito de cuadrado con bordes horizontal y vertical. Este confines de sus puntos en un número finito de conjunto convexo. Tenga en cuenta también que una línea que divide el plano en dos medias para los aviones de la mitad de estos aviones son convexas, y la intersección de dos conjuntos convexos es convexa.

Ahora identificar el punto más alto de su conjunto (o uno de ellos). Dibuje una línea horizontal a través de este punto, por lo que todos los puntos que no están en la línea que están debajo de él. Llame a la izquierda de los puntos (tal vez sólo hay uno) $P_1$. Ahora rota la línea de las agujas del reloj alrededor de $P_1$ hasta que se encuentra con otro punto (se puede encontrar más de uno). Esto se convierte en $L_1$, el punto en el $L_1$ más alejado $P_1$ llamamos a $P_2$ - si se trata de $P_1$ $P_2$todos los puntos que están a nuestra derecha. Podemos reducir la plaza por la intersección con la mitad derecha del plano -. Nosotros, a continuación, girar alrededor de $P_2$ encontrar $L_2$ $P_3$ etc, siempre manteniendo todos los puntos de nuestro derecho y cortar las piezas de la original plaza de como vamos.

Puesto que sólo tenemos un número finito de puntos, no puede continuar para siempre. Cuando la línea viene horizontal de nuevo, con todos los puntos de la derecha, es decir, por debajo, debe ir a través de $P_1$ lo contrario $P_1$ estaría por encima de la línea.

Creo que puede ser de manera rigurosa.

Answer 3

Asumo que el conjunto P es finito (estamos hablando de un polígono).

Usted puede comenzar por la elección de la derecha del punto de $P_0$ (la más baja si hay más) y imaginando una línea vertical a través de ella. Vamos a llamar a $r$ el fondo de rayos de la línea de partida en $P_0$.

Ahora elija el punto que minimiza el ángulo orientado (a la derecha) entre $r$ (el más uno de $P_0$ si hay más) y llamar a $P_1$. Esto está bien definido porque no puede ser sólo $1$ punto.

Ahora repita el procedimiento con el rayo $P_0P_1$, se obtiene un punto de $P_2$ y así sucesivamente.

Hay 2 cosas a tener en cuenta cuales son evidentes a partir de la construcción:

• $P_i\neq P_{i+1}$ todos los $i\geq0$.
• Todos los puntos se encuentran dentro del ángulo de $|\measuredangle P_iP_{i+1}P_{i+2}|<\pi$ todos los $i\geq0$.

Hay sólo un número finito de puntos, así que hay un número $n$ tal que $P_n=P_k$ algunos $k<n$. Elija $n$ a ser el más pequeño posible.

Así que todos los puntos se encuentran dentro del polígono convexo $P_kP_{k+1}\dots P_{n-1}$ y es no degenerada, porque no todos los puntos se encuentran en un segmento de línea.

La última cosa a tener en cuenta es que un punto en un polígono convexo es un vértice si y solo si hay una línea que cruza el polígono justo en ese punto. El uso de este obtenemos los puntos son únicos e $k=0$, debido a $P_0$ es un vértice.