¿Cuál es el valor esperado de la determinante en la distribución uniforme de todas las posibles 1-0 matrices de NxN? Lo que hace este valor esperado tienden a como la matriz de tamaño N se acerca a infinito?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Danimal
Puntos
5721
Como todos los de arriba se ha señalado, el valor esperado es $0$.
Espero que el cartel original hubiera querido saber acerca de lo grande que es el factor determinante es. Una buena manera de acercarse a este es calcular los $\sqrt{E((\det A)^2)}$, por lo que no habrá cancelación.
Ahora, $(\det A)^2$ es la suma de todos los pares de $v$ $w$ de las permutaciones en $S_n$ de $$(-1)^{\ell(v) + \ell(w)} (1/2)^{2n-\# \{ i : v(i) = w(i) \}}$$
Grupo conjunto de pares de $(v,w)$ según $u := w^{-1} v$. Queremos calcular $$(n!) \sum_{u \in S_n} (-1)^{\ell(u)} (1/2)^{2n-\# (\mbox{Fixed points of }i)}$$
Esto es $(n!)^2/2^{2n}$ multiplicado por el coeficiente de $x^n$ en $$e^{2x-x^2/2+x^3/3 - x^4/4 + \cdots} = e^x (1+x).$$
Por lo $\sqrt{E((\det A)^2)}$ es $$\sqrt{(n!)^2/2^{2n} \left(1/n! + 1/(n-1)! \right)} = \sqrt{(n+1)!}/ 2^n$$
Richard Stanley
Puntos
19788
Para algunos otros resultados de esta naturaleza, vea el Ejercicio 5.64 de la Combinatoria Enumerativa, vol. 2. Este ejercicio se ocupa de la distribución uniforme en (0,1)-matrices o $(-1,1)$-matrices, pero los argumentos pueden ser traspasados a otras distribuciones donde la matriz de entradas se yo.yo.d. Las pruebas son similares al argumento de David Speyer comentario.
Mike Picollelli
Puntos
96
A menos que me estoy perdiendo algo, esto también se sigue inmediatamente de la linealidad y multiplicativity de expectativa, el tratamiento de cada entrada de forma independiente $0-1$ con una probabilidad de $1/2$. Cada permutación se obtiene el mismo valor esperado de la suma, $\pm (1/2)^n$ dependiendo de la señal, y el número de permutaciones pares e impares es idéntica (por $n \ge 2$, como se señaló anteriormente).
Es probablemente vale la pena mencionar que un viejo resultado de Komlos muestra que a pesar de esto, la probabilidad de que el factor determinante es realmente 0 $o(1)$.
steevc
Puntos
211
Es un poco más conveniente trabajar con random (-1,+1) de las matrices. Un poco de eliminación Gaussiana muestra que el determinante de un aleatoria de n x n (-1,+1) de la matriz es $2^{n-1}$ multiplicado por el determinante de una aleatoria n-1 x n-1 (0,1) de la matriz. (Nota, por ejemplo, que Turan del cálculo del segundo momento ${\bf E} \det(A_n)^2$ es más sencillo para (-1,+1) matrices de (0,1) de matrices, es sólo n!. También es claro por qué el determinante se distribuyen simétricamente alrededor del origen.)
El registro de $\log |\det(A_n)|$ a (-1,+1) de la matriz se conoce a asintóticamente ser $\log \sqrt{n!} + O( \sqrt{n \log n} )$ con una probabilidad de $1-o(1)$; consulte este documento de Vu y a mí mismo. De una manera más precisa debe ser el resultado de que el logaritmo es asintóticamente una distribución normal con una media de $\log \sqrt{(n-1)!}$ y la varianza $2 \log n$. Este resultado fue reclamado por Girko; la prueba es, por desgracia, bastante completo, pero el resultado es probable que sea cierto.
