¿Resolver $x^2+2=y^3$ con pendiente infinita?

Question

sólo por lo que esto no se borran, quiero dejar claro que yo ya sé cómo resolver esto mediante la UFD $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, y estoy en búsqueda del infinito descenso prueba de que Fermat afirmó haber encontrado.

He alaways estado fascinado por esta ecuación Diophantine $x^2+2=y^3$, en particular desde que la vi, y todavía no tengo ni idea de cómo atacar sin $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Lo que es decepcionante es que nadie parece interesado en la caza (primaria prueba de uso infinito de descenso). Sé que ha sido estudiado ampliamente, y que incluso ha habido generalizaciones, tales como Mordell de la ecuación. Sin embargo, nunca he visto a Fermat original de la prueba de que $(x,y)=(\pm 5, 3)$ es el único entero solución. Obviamente, Fermat probablemente no sabía nada de la UFD, que es por eso que creo que tiene que haber un infinito de descenso de la prueba, como él decía. Nadie, aparte de él, en realidad esta prueba? La gente lo menciona todo el tiempo, sin embargo, no puedo encontrar nada sobre ella. Como ya he dicho, sé que se trataba de infinito descenso, pero nunca he visto en ningún sitio y nadie parece tener alguna idea al respecto.

¿Alguien tiene ideas para este enfoque? Quiero decir, infinito descenso parece más eficaz para mostrar una contradicción, por ejemplo, mostrando que no hay soluciones. Pero, ¿cómo podría trabajar aquí? También, ¿por qué no se publican en cualquier lugar en todo este tiempo? Podría ser que sólo Fermat sabía que su método de descenso lo suficientemente bien para hacer de este problema someterse a ella?

Gracias!

Answer 1

Para responder a tu última pregunta: Sí, lo que realmente podría ser que sólo Fermat sabía que su método de descenso [el uso de las técnicas contemporáneas] lo suficiente para hacer que este problema se presente.

El compañero de problema con respecto a la $x^2+4=y^3$ también se conoce ninguna prueba de descenso, aunque afirmó tener uno. No se conoce descendencia prueba del hecho de que la beca Pell que la ecuación tiene infinitas soluciones - pero Fermat afirmó haber demostrado que la descendencia también. De hecho, de los diez problemas mencionados en su carta a Carcavi", que Fermat afirmó a probar por la infinita descenso, por lo que yo sé, sólo uno (FLT para $n=3$) ha tenido la publicación de un descenso de la prueba.

Para resumir: Si Fermat había sólo afirmado que han demostrado ser uno de sus teoremas (por ejemplo, FLT) por el descenso, y no hay tal prueba fue encontrado alguna vez, yo no tendría problema en convencer a mí mismo que estaba equivocado. Pero dijo descenso de las pruebas de decenas de teoremas, todos de los cuales fueron posteriormente comprobado el uso de otros métodos - en algún momento, tenemos que preguntarnos a nosotros mismos lo que él sabía que no la tengamos.

Answer 2

Aunque ya has aceptado mi otra respuesta [a su segundo y último del que se trate], pensé que me gustaría añadir algunas reflexiones sobre cómo la ecuación de $x^2+2=y^3$ podría ser atacado por el descenso.

Esta respuesta es el Método #1. Me encantaría intercambio de ideas sobre cómo esto podría ser completado, o por qué no.

Escribir la ecuación como \begin{align} x^2+3 &= y^3+1 = (y+1)(y^2-y+1). \end{align} Podemos mostrar que $3 \nmid x(y+1)$, $x,y$ son impares, y que, por ende,$\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$. Por lo tanto por conocidos los resultados, hemos \begin{align*} y+1 &= a^2 + 3b^2, \\ y^2-y+1 &= c^2 + 3d^2 \end{align*} para los números enteros $a,b,c,d$$ac \ne 0$. (Desde $y^2-y+1 = \tfrac{1}{4}\bigl((y+1)^2 +3((y+1)-2)^2\bigr)$, podemos definir $c,d$ en términos de $a,b$, pero por ahora esto debe darle una idea adecuada de mi enfoque sugerido.) Multiplicando da \begin{align} x^2 + 3 = (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = (ac \pm 3bd)^2 + 3(ad \mp bc)^2, \end{align} la cual puede escribirse como \begin{align} x^2 - 3(ad \mp bc)^2 = (ac \pm 3bd)^2 - 3(1)^2 = k, \tag{%#%#%} \end{align} donde $\star$ es un desconocido entero. Ahora ($k \le x^2-3$) da dos soluciones para la ecuación de $\star$, e $U^2-3V^2 = k$ uno de los signos es la solución fundamental (porque de la $(ac \pm 3bd,1)$ al final).

Mi intuición me dice que podemos aplicar algún tipo de ascendencia ( $1$ ) y, en última instancia deducir que $\star$$a=\pm 2$, obligando a $b=0$, como se desee.

Ver este hilo para más.

Answer 3

Aquí el Potencial de Descenso Mecanismo #2 para la discusión.

Claramente, $x$ $y$ son ambos impares, y $x > y$. Por lo tanto, no existen números enteros $a > b \ge 1$ tal que $x=a+b$$y=a-b$. Después de la sustitución, usted puede terminar para arriba con un nuevo tercer grado de la ecuación, que creo que pueden ser más susceptibles al ataque debido a la cantidad de términos y cruz términos.

Ver este MSE hilo, y este, y este MO hilo para ejemplos de mí intentando - sin éxito - para solicitar mayor grado Vieta-saltar a obtener una ruta de descenso en contra de tales ecuaciones. Aún creo que es posible.

Answer 4

Potencial Descenso Mecanismo De #3.

Es verdad que el infinito descenso parece más eficaz para mostrar una contradicción, por ejemplo, mostrando que no hay soluciones.

Pero no estamos obligados a demostrar que no hay ninguna solución a la ecuación original... por el contrario, podemos demostrar que no hay ninguna solución a algunos implícita de la ecuación, el [hipotético] distinto de cero soluciones de las cuales serían las soluciones a la ecuación original (por ejemplo,) $x>5$.

Como un ejemplo, escribir $(x,y) = (5+2u,3+2v)$ donde $u,v$ son enteros positivos por hipótesis. Ahora sustituyendo y simplificando, tenemos la ecuación. $$2u(u+5) = v(4v^2+18v+27).$$ Aquí, tenemos que demostrar que el $v=0$$u \in \{0,-5\}$, es decir, la ecuación no tiene entero positivo soluciones. Que es probable que [más] susceptibles al ataque por el descenso.