¿Muestreo de la distribución marginal utilizando la distribución condicional?

Question

Quiero hacer un muestreo de una densidad univariante $f_X$ pero sólo conozco la relación:

$$f_X(x) = \int f_{X\vert Y}(x\vert y)f_Y(y) dy.$$

Quiero evitar el uso de MCMC (directamente en la representación integral) y, como $f_{X\vert Y}(x\vert y)$ y $f_Y(y)$ son fáciles de muestrear, estaba pensando en utilizar el siguiente muestreador:

1. Para $j=1,\dots, N$ .
2. Muestra $y_j \sim f_Y$ .
3. Muestra $x_j \sim f_{X\vert Y}(\cdot\vert y_j)$ .

Entonces, terminaré con los pares $(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)$ y tomar sólo las muestras marginales $(x_1,\dots,x_N)$ . ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, esto es correcto. Básicamente, usted tiene

$$f_{X,Y}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y),$$

y como has dicho, puedes tomar muestras de la densidad conjunta. Recogiendo sólo la $x$ s de las muestras le lleva a una muestra de la distribución marginal.

Esto se debe a que el acto de ignorar el $y$ es similar a integrarse sobre ella. Entendamos esto con un ejemplo.

Supongamos que $X$ = Altura de las madres y $Y$ = Altura de la hija. El objetivo es obtener una muestra de $(X,Y)$ para entender la relación entre las alturas de las hijas y sus madres. (Estoy haciendo la suposición de que sólo hay una hija en la familia, y restringiendo la población a todas las hijas mayores de 18 años para asegurar el crecimiento completo).

Sales y consigues una muestra representativa $$(x_1, y_1), \dots, (x_N, y_N).$$

Así, para cada madre, tienes la altura de su hija. Debe haber una relación clara entre $X$ y $Y$ . Supongamos ahora que de su conjunto de datos, se ignoran todos los datos de las hijas (se elimina el $Y$ ), entonces ¿qué tienes? Tienes exactamente alturas de madres elegidas al azar que serán $N$ se nutre del marginal de $X$ .