La clasificación de todos los grupos finitos que poseen una sola adecuada no trivial subgrupo normal

Question

Sabemos que

Para $n≥5$, $A_n$ es la única adecuada trivial normal subgrupo de $S_n$.

Estoy pidiendo amablemente a conocer las posibles presenta referencias, entre el punto siguiente, si alguien es consciente de ellos.:

La clasificación de todos los grupos finitos G cuya poseer un adecuado no trivial subgrupo normal.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Usted obtener ejemplos similares, tomando un finito, nonabelian simple grupo de $S$, y de la ampliación por un exterior automorphism de primer orden a un grupo de $G$.

Algo doblemente, usted puede tomar un cociente $P$ de primer orden de la Schur multiplicador de $S$, y extender $P$ $S$ a un grupo de $G$.

Otra clase de solubles ejemplos pueden ser obtenidos por empezar con dos primos $p, q$. Considerar el período de $n$ $p$ modulo $q$. A continuación, en la multiplicativo campo finito $\mathbf{F}_{p^{n}}$ hay un subgrupo $Q$ orden $q$ que actúa irreducible sobre el aditivo grupo$P$$\mathbf{F}_{p^{n}}$. El semidirect producto $G = PQ$ tendrá la propiedad, con $P$ la única que no sea trivial, normal y adecuada de los subgrupos.

Volviendo a la insolubles ejemplos, uno puede tomar un poder directo $S^{p}$ de un nonabelian, grupo simple finito $S$, $p$ prime. Si dejas que un grupo cíclico $C_p$ orden $p$ permutar cíclicamente los factores en $S^{p}$, usted debe conseguir otro ejemplo, con $S^{p}$ como el distinguido subgrupo normal.