Grupo normal que contiene su centralizador

Question

Estoy estudiando para mi Álgebra qual y me encontré con esta pregunta:

Deje $G$ ser un grupo finito con un subgrupo normal $N$ tal que $C_G (N) \leq N$. Mostrar que $$ |G|\leq |N|!. $$

Aquí $C_G (N)$ es el centralizador de $N$$G$.

Hasta ahora he tratado de dejar a $G$ actuar sobre los elementos de $N$ por conjugación. Esto induce a un homomorphism de $G$ a $S_{|N|}$ $C_G (N)$ como el núcleo. Así que lo que puedo conseguir es que

$$ \frac{|G|}{|C_G(N)|} \leq |N|!. $$

Es aquí que me quedo atascado.

Cualquier ayuda sería genial, gracias!

Answer 1

Estás en el camino correcto. Qué pasa por alto es que la identidad es fija por todas las conjugaciones, así que usted puede ver la acción en $N$ verbal como un homomorfismo del grupo simétrico en $\lvert N\rvert - 1$ elementos, por lo tanto

$$\frac{\lvert G\rvert}{\lvert C_G(N)\rvert} \leqslant (\lvert N\rvert - 1)!.$$