¿Cómo probar $\frac{1}{q} \binom{p^k q}{p^k} \equiv 1 \mod p\;\;$?

Question

Un argumento que acabo de llegar a través afirma que si $p$ es primo, y $k, q\in \mathbb{Z}_{>0}$, luego

$$\frac{1}{q} \binom{p^k q}{p^k} \equiv 1 \mod p \;.$$

Esta afirmación fue hecha de una manera (es decir, sin prueba o cita) que sugiere el autor considera que es bastante obvio, pero no es así para mí. Si hay una sencilla prueba de ello, que me gustaría ver.

(Nota: $q$ no necesita ser coprime a $p$.)

(Buscando en internet encontré un resultado llamado Lucas Teorema, que parece que puede incluir la equivalencia anterior como un caso especial, pero todavía no estoy seguro. En cualquier caso, no he podido encontrar la prueba de Lucas teorema particularmente fácil, pero, si la equivalencia anterior es de hecho un caso especial de Lucas teorema, espero que no pueden ser más fáciles de la prueba.)

Answer 1

Su afirmación es la siguiente. $${1 \over q} \prod_{i=1}^{p^k}{p^k(q-1)+i \over i} \equiv 1 \mod{p}$$ Que $\mathbb{p}(n)$ ser mayor $e \in \mathbb{N}_0$ así que $p^e \mid n$ y $\sigma(n) = {n \over p^{\mathbb{p}(n)}}$. Es evidente que para cada $i

Answer 2

En el proceso de tratar de entender P. K.'s vine con la siguiente prueba. Esto podría muy bien ser exactamente de P. K. de la prueba, aunque ya no puedo seguir plenamente a P. K., el argumento de que no puedo decir seguro.

Claramente

$$ \frac{1}{q} \binom{p^k q}{p^k} = \binom{p^k q - 1}{p^k - 1} = \prod_{i=1}^{p^k - 1}\frac{p^k (q - 1) + i}{i} = \prod_{i=1}^{p^k - 1}\left( \frac{p^k (q - 1)}{i} + 1 \right) \,.$$

(En lo que sigue, $i$ siempre representa un índice arbitrario del producto en el lado derecho de arriba, o IOW, un elemento arbitrario de $\{1,\dots,p^k - 1\}$. También, cada declaración acerca de $i$ a continuación debe ser interpretado como implícitamente precedida con un "$\forall \, i \in \{1,\dots,p^k - 1\}$".)

La observación clave es que el $i$ puede ser factorizado como $i = p^{k - j_i}c_i$ donde $0 < j_i \leq k$ es un número entero, y $p \nmid c_i$. Esto significa que

$$\frac{p^k (q - 1) + i}{i} = p^{j_i}\frac{(q - 1)}{c_i} + 1\,,$$

Ahora, $p \nmid c_i$ significa que existe un entero $0 < d_i < p$ tal que

$$\frac{(q - 1)}{c_i} \equiv d_i\,(q - 1) \mod p\;.$$

Desde $j_i > 0$, de la congruencia anterior implica que

$$\frac{p^k (q - 1) + i}{i} = p^{j_i}\frac{(q - 1)}{c_i} + 1 \;\;\equiv\;\; p^{j_i} d_i (q - 1) + 1 \;\;\equiv\;\; 1\mod p\,,$$

De esto se sigue inmediatamente que

$$ \frac{1}{q} \binom{p^k q}{p^k} = \prod_{i=1}^{p^k - 1}\left( \frac{p^k (q - 1)}{i} + 1 \right) \;\;\equiv\;\; \prod_{i=1}^{p^k - 1} 1 \;\;\equiv 1\mod p\,.$$