¿Geometría de imágenes de mapas de $f: \mathbb R \to \mathbb C$?

Question

Estoy teniendo problemas para ver lo que es un mapa continuo $f: \mathbb R \to \mathbb C$ podría parecer. Si era lineal, se vería como una línea pero no me queda claro qué sucede si es cualquier mapa.

Me empecé a preguntar acerca de esto después de que yo estaba tratando de trabajar lo que es una convolución de dos mapas.

Entonces me quedé pensando acerca de las funciones características. Estos por supuesto, se ven como una línea de la longitud de la serie de la que ellos son la función característica de. Pero hay mapas para que la imagen no es una recta sino un avión?

¿Qué pueden las imágenes de continuo mapas de $f: \mathbb R \to \mathbb C$ buscar como?

Answer 1

El de Hahn-teorema de Mazurkiewicz dice (entre otras cosas) que un subconjunto de a $\mathbb{C}$ es una imagen continua de $[0,1]$ fib es compacto, se conecta, y conectado localmente. Esto incluye, por ejemplo, cierra el disco, así como muchos otros más complicados conjuntos que no se parece en nada a una "curva". Si usted se considera continuo de imágenes de $\mathbb{R}$ en lugar de $[0,1]$, se obtiene exactamente los conjuntos que están trayectoria-conectado y una unión de countably muchos compacto, conectado, conectado localmente conjuntos (ver esta respuesta en MO, por ejemplo). En particular, por ejemplo, $\mathbb{C}$ es la imagen continua de una cierta función $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$.

Probablemente el mejor conocido de la construcción explícita de una curva en el plano cuya imagen tiene interior no vacío es la curva de Peano , que se describe muy bien en la Wikipedia. La clave herramienta técnica en su construcción es el hecho de que un límite uniforme de funciones continuas es continua; la curva se construye como el límite de una secuencia de curvas poligonales que se hacen cada vez más "densa" en una plaza.

Tenga en cuenta que todo esto es acerca de la continua mapas. Dadas las etiquetas que usted eligió para la pregunta, suena como que podría ser en realidad más interesado en diferenciables de los mapas. En ese caso, la historia es bastante diferente. En particular, por ejemplo, si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ $C^1$ (o más generalmente, localmente Lipschitz), entonces no es difícil mostrar la imagen de $f$ debe tener la dimensión de Hausdorff $\leq 1$. En particular, esto significa que tienen medida cero.

Answer 2

Cada mapa continuo $ f: \mathbb R \to \mathbb C $ es una curva en el plano complejo, en particular un mapa $f:[a,b] \to \mathbb C$ «$a$ y $b$ son números reales ", se llama una ruta, que se utiliza en la teoría de la integración de complejos. Pero sobre tu segunda pregunta tengo que decir que no! No hay un mapa tiene un llano como su imagen. Un ejemplo simple de tal mapa es $$f: [0,2\pi] \to \mathbb C$$ $% $ $f(t)=e^{it}$que su imagen es un círculo.