Estoy trabajando en el siguiente problema, y por alguna razón me parece que no puede entender de forma intuitiva:
Deje $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ ser estrictamente una disminución de la secuencia de números positivos. Suponga $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge. Demostrar que para cada $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$, $(n-N)a_n < \epsilon$.
Es correcto decir que nos están demostrando que el $a_n$ eventualmente se vuelve tan pequeño que incluso un gran número de copias de la $n^{th}$ plazo es arbitrariamente cercano a 0?
Mi intento:
En primer lugar, tenga en cuenta que como $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, se debe sostener que la secuencia de sumas parciales converge, y por lo tanto es de Cauchy. Es decir, si $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$, entonces para fija $\epsilon > 0$, $\exists N$ tal que $$ |s_n - s_m| < \epsilon \qquad \forall n, m > N.$$ Equivalentemente, w.l.o.g. suponga que $n > m$. Entonces, desde el $a_n$ es una secuencia de números positivos, \begin{align*} |s_n - s_m| &= \bigg| \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^m a_k \bigg| \\ &= \sum_{k=m+1}^n a_k \\ &< \epsilon \qquad \forall n > m > N \\ \end{align*} Ahora, desde la $a_n$ está disminuyendo, \begin{align*} (n-N)a_n &= \sum_{N+1}^n a_n \\ &= a_n + a_n + \dots + a_n \\ &< a_{N+1} + a_{N+2} + \dots + a_n \qquad n>m\geq N+1 \\ &= \sum_{k=N+1}^n a_k \\ &< \epsilon \qquad \forall n > N \\ \end{align*} Desde $\epsilon > 0$ fue arbitraria, $\forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $$ (n-N)a_n < \epsilon \qquad \forall n > N.$$
Esta es una prueba válida? Me siento como si me podrían complicar las cosas.
