Deje $f \colon S^n \to S^n$ ser una constante mapa, $n > 0$. Quiero mostrar que la $\deg f = 0$. Voy a hacerlo por definición. Deje $\sum_k g_k \sigma^n_k$ ser una singular cadena de, $g_k \in \mathbb{Z}$, $\sigma^n_k \colon \Delta^n \to S^n$, donde $\Delta^n$ es un estándar $n$-simplex. A continuación, la inducida por el mapa de $f_n \colon C_n(S^n) \to C_n(S^n)$ actos por la regla $$ f_n \left( \sum_k g_k \sigma^n_k \right) = \left( \sum_k g_k \right) \sigma^n_0, $$ donde $\sigma^n_0 = f \colon \Delta^n \to pt$. Vamos a notar que $\partial \sigma^n_0 = 0$ si $n$ es impar y $\partial \sigma^n_0 = \sigma^{n-1}_0$ si $n$ es incluso. Por lo tanto, si $n$ es incluso la imagen de los ciclos de grupo bajo la acción de $f_n$ es trivial y, por tanto, la inducida por homomorphism $f_n \colon H_n(S^n) \to H_n(S^n)$ de homología de grupos es trivial. Pero, ¿cómo demostrar que si $n$ es impar entonces a la inducida por homomorphism $f_n$ de homología de grupos también será trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
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Puntos
6
Se puede decir que un poco más, la siguiente proposición se demuestra también en de Hatcher Topología algebraica
Proposición. Que $f:S^n \to S^n$ sea un mapa continuo, si $f$ no es sobreyectiva entonces deg $(f) = 0$
Prueba. Elegir un $x_0$ no en la imagen de $f$, entonces usted puede factor $f$ con la inclusión de $S^n\setminus {x_0}$ que es homeomorfa a $\mathbb{R}^n$. Aplicando el % de functor $Hn(\text{})$nos da el resultado requerido.
