Dejemos que $(B_1,B_2)$ sea un movimiento browniano bidimensional. Sea $$ X_t = \int\limits_0^t B_1(s)\mathrm \; dB_2(s). $$ ¿Existe una forma cerrada para $X$ ¿o la integral de arriba es todo lo que se puede conseguir?
Respuesta
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Para determinar la ley de $X_t$ basta con determinarlo para $t=1$ debido a la propiedad de escalamiento, $X_t \stackrel{d}{=} t X_1$ .
Utilizando el proceso vectorial Ito $V_t = (X_t, Y_t, Z_t)$ con $$ \mathbb{d} X_t = Y_t \mathrm{d} B^{(2)}_t \qquad \mathrm{d}Y_t = \mathrm{d} B^{(1)}_t \qquad \mathrm{d} Z_t = \mathrm{d} B^{(2)}_t \qquad V_0 = (0,0,0) $$ y notando que $\mathcal{L}_0$ es nilpotente en polinomios en $X_t$ , $Y_t$ y $Z_t$ permite calcular $\mathbb{E}(X_t^n)$ como $$ \mathbb{E}(X_t^n) = \frac{t^n}{n!} \mathcal{L}_0^{\circ n}(X_t^n) = \left(1/2\right)_n \cdot {}_1 F_1 \left(-n ; \frac{1}{2} - n; -\frac{1}{2}\right) $$ donde $\mathcal{L}_0 = \frac{1}{2} \left( Z_t \frac{\partial}{\partial X_t} + \frac{\partial}{\partial Y_t}+ \frac{\partial}{\partial Z_t} \right)$ .
La función generadora de momentos (exponencial) correspondiente a esta secuencia de momentos es fácil de encontrar: $$ \mathcal{M}_{X_t}(u) = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!} \mathbb{E}(X_t^n) = \frac{\exp(-t u/2)}{\sqrt{1- t u}} $$ lo que significa que $X_t + \frac{t}{2}$ es igual en su distribución a $\Gamma(1/2,t)$ variable aleatoria, es decir $X_t \stackrel{d}{=} \frac{t}{2}\left(Z^2-1\right)$ para una variable aleatoria normal estándar $Z$ .
