El truco es darse cuenta de que una normal ordenado de la cadena de campos es sólo un polinomio de Hermite (ref. $[1]$):
$$
\colon \phi^n\colon=H_n(\phi)\etiqueta{1}
$$
de modo que, por ejemplo,
$$
\colon \phi^2\colon=\phi^2-c\la etiqueta{2}
$$
donde
$$
c\equiv [\phi^+,\phi^-]=\delta(\boldsymbol 0)\etiqueta{3}
$$
es un (formalmente divergentes) constante.
En el caso de la libre teorías, el Hamiltoniano es cuadrática en $\phi$, y por lo tanto
$$
\colon\mathcal H_\mathrm{libre}\colon=\mathcal H_\mathrm{libre}-c\la etiqueta{4}
$$
lo que implica que $c$ es sólo la energía de punto cero. En una teoría más general, tenemos
$$
\colon\mathcal H\colon=\mathcal H+P(\phi)\etiqueta{5}
$$, where $P(\phi)$ is just a polynomial in $\phi$. Por lo tanto, el normal, ordenado y la no-normal ordenó teorías son cualitativamente idénticos.
Por ejemplo, en el caso de $\phi^3$ teoría,
$$
\colon\phi^3\colon=\phi^3-3c\phi\etiqueta{6}
$$
lo que implica que las interacciones $\colon\phi^3\colon$ $\phi^3$ dan lugar a las mismas teorías modulo renacuajos.
Del mismo modo, en $\phi^4$ teoría,
$$
\colon\phi^4\colon=\phi^4-6c\phi^2+3c^2 \etiqueta{7}
$$
lo que implica que $\colon\phi^4\colon$ $\phi^4$ dan lugar a las mismas teorías modulo una masa renormalisation (conocido como babosas), y un insignificante de energía de punto cero (que sólo afecta a las burbujas de vacío).
Interacciones de orden superior no son considerados porque de renormalisability, pero la discusión es análogo. En pocas palabras, normal de ordenar un Lagrangiano deja invariante el término de orden superior, y se modifica el coeficiente de el resto de los términos. Esto implica que la ordenó y la no-normal ordenó teorías sólo se diferencian en el valor de la contra-términos.
En el caso de las teorías gauge el problema es un poco más sutil, porque normal de ordenar puede afectar el Barrio de identidad. El caso de la QED es particularmente simple, porque aquí (cf. $[2]$)
$$
\colon A\cdot j\colon=A\cdot j-c' \etiqueta{8}
$$
donde $c'$ es un (formalmente divergentes) constante. Por lo tanto, normal de ordenar en QED no hacer de la conservación de la corriente anómala. Por otro lado, en escalar QED un ingenuo normal de ordenar no romper el Barrio de identidad (cf. este post).
En cualquier caso, todo el formalismo de la normal de ordenar no es completamente entendido. La definición estándar se da sólo para los campos libres, y está lejos de ser claro que la definición siempre se puede ser aplicada a la interacción de los campos así. Ver $[3]$ para más detalles.
Renormalisation (Trabajo en proceso)
Yo quería añadir más detalles a la respuesta, pero me tomó más tiempo de lo que esperaba, y ahora tengo que salir. El resto de este post aún está en proceso; voy a volver a ella y cambiar algunas cosas más adelante.
Renormalisation es definido por el usuario del proceso: usted elija cómo hacerlo. Si usted normal-el fin de su Lagrange o no es independiente de cómo usted elige para renormalise su teoría. Usted puede ir en un shell de sistema, o utilizar alguna otra receta para calcular el contador-de los términos; la escala a la que se renormalise es en principio arbitraria; usted puede elegir renormalise el orden más bajo de vértice funciones o algunos de los más altos de la función de correlación; etc. Cualquiera de estas opciones no se preocupa de si el Lagrangiano es normal-ordenado o no.
El único efecto de la normal de ordenar un Lagrangiano es en la contra-términos. Considerar, por ejemplo, $\phi^4$ teoría, definido por el Lagrangiano
$$
\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B\phi^2+C\phi^4+D
$$
para algunos $A,B,C,D\in\mathbb R$.
Si ahora se utiliza $(7)$, se puede volver a escribir el Lagrangiano de arriba como
$$
\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B'\phi^2+C:\phi^4:+D'
$$
donde$B'=B-6c$$D'=D+3c^2$.
Ahora viene renormalisation. Para calcular el $A,B,C,D$ tenemos que elegir algunos de prescripción; por ejemplo, $D$ (o $D'$) generalmente se fija por el requisito de que el vacío tiene energía cero. Esta energía está dada por la suma de todas las burbujas de vacío.
En la no-normal ordenó la teoría, las burbujas de vacío están dadas por
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donde "$\text{counter-terms}$" son los diagramas de la lucha contra los términos,
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con el valor de $-iD$ $-i(A-1)p^2-i(B-1)$ respectivamente.
Si ahora nos insisten en que $E_0\equiv 0$ a de esta orden en teoría de la perturbación, se consigue una cierta (divergente) el valor de los coeficientes $A,B,D$.
Por otro lado, en la normal ordenó la teoría, el vacío diagramas son
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donde "$\text{counter-term}$" es dada por el mismo diagramas como los de antes, pero con valor de $(A-1)p^2+(B'-1)$ $D'$ respectivamente. Si ahora nos insisten en que $E_0\equiv 0$ a de esta orden en teoría de la perturbación, se consigue una cierta (divergente) el valor de los coeficientes $A,B',D'$, diferente de la de antes.
El mensurables de objetos, $E_0$, tiene el mismo valor en ambos enfoques, pero los coeficientes no. Por ejemplo, $D'$ se desvanece a primer orden de teoría de perturbaciones, sino $D$ no.
Exactamente lo mismo sucede a las de orden superior funciones de correlación. Por ejemplo, la auto-energía de $\phi$ se desvanece a primer orden de teoría de perturbaciones; si usted considera que la normal ordenado de Lagrange, a continuación, $A=B'=0$ a de esta orden, mientras que $B\neq 0$. La diferencia es causada por la babosa diagrama (los detalles se dejan al lector; en la normal ordenó la teoría de la no-trivial contribución a $\Pi(p^2)$ está dado por el diagrama de la puesta de sol).
En resumen, podemos decir lo siguiente: los diagramas que contribuyen a un determinado orden de teoría de perturbaciones dependen de si estamos o no optar a la orden normal de la Lagrangiana, y esto afecta el valor real del contador. Pero observables son independientes de cualquier orden.
Referencias:
