¿Hay un nombre para una función que asigna un conjunto en un subconjunto de sí mismo?

Question

Decir $X$ es un conjunto de subconjuntos de un conjunto arbitrario. ¿Hay un nombre para una función $f:X\to X$satisfacción $f(A)\subseteq A$ % todo $A\in X$?

¿Concretamente, hay un nombre para un $f:X\to X$ $f(A)\subseteq A$ y $f(f(A)) = f(A)$? En teoría de la decisión, esto es cómo se comportan funciones de opción series de actos, pero me gustaria saber si hay un nombre matemático de estas propiedades.

Answer 1

(Estoy indicando las siguientes definiciones de función definida en todo el juego de poder, pero tienen sentido para cualquier subconjunto del juego de poder...)

Una función de $f\colon \mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$ tal que $f(A)\subseteq A$ todos los $A$ dijo estar disminuyendo. (Si $A\subseteq f(A)$ todos los $A$, decimos que la función es creciente).

Si la función satisface $A\subseteq B\Rightarrow f(A)\subseteq f(B)$ todos los $A$$B$, entonces se dice $f$ es isótono.

Si la función satisface $f(f(A)) = f(A)$,, entonces decimos que la función es idempotente.

Una función que es creciente, isótono, y idempotente es llamado un cierre de operador. Si, además, $$f(A) = \bigcup_{B\subseteq A,\ B{\rm\ finite}} f(B)$$ for all $Un$, then we say the closure operator $f$ is algebraic. If $f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)$ for all $$ and $B$, entonces se dice que el cierre de operador es topológico.

Una función es decreciente, isótono, y idempotente es llamado un interior operador. Si además de la $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ todos los $A$$B$, entonces se dice que el interior operador $f$ es topológico. Si $$f(A) = \bigcap\limits_{B\subseteq A, B\text{ finite}} f(B)$$ for all $Un$, then we say the interior operator $f$ es algebraica.

Así que parece que podría tener un interior operador; sin duda es decreciente y idempotente, pero no dicen lo suficiente como para saber si también es isótono.

Usted puede encontrar algunos de estos en George Bergman la Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones, Sección 5.3, páginas 134-139.

Answer 2

Si usted tiene una función con las propiedades en su pregunta, entonces cumple con la función $g:A\mapsto X\setminus f(X\setminus A)$ $A\subseteq g(A)$ y $g(g(A))=g(A)$ % todos $A$. Esto se llama un operador de casco. Lo que buscas es el doble, y no conozco un nombre para esto. Tal vez deberíamos llamarlo núcleo-operador. Ver también mi comentario: el operador interior en un espacio topológico satisface sus condiciones.