Si a es infinito, no tiene que existir un subconjunto de a que es equivalente a Una?

Question

Estaba leyendo Rudin y hay una variante de la definición de conjunto infinito (la primera definición no es "finito"): a es infinito si es equivalente a uno de sus subconjunto. Entonces me preguntaba lo contrario: si a es infinito, no tiene que existir un subconjunto de a que es equivalente a Una?

Answer 1

Gran pregunta! Resulta que la respuesta es: de suerte! Depende de exactamente lo que los axiomas de la teoría de conjuntos uso - específicamente, si podemos o no aceptar (muy débil) el axioma de elección.

En ZF solos, es decir, la teoría de conjuntos, sin el axioma de elección - que es coherente que hay conjuntos infinitos que son estrictamente mayor que todos los de su propia subconjuntos ("infinito, Dedekind finito de conjuntos"). Incluso es posible tener conjuntos que son infinitos, pero no puede ser dividido en dos infinito piezas ("amorfo conjuntos")!

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He aquí una prueba de que cada conjunto infinito tiene un subconjunto del mismo tamaño. Deje $A$ ser infinito. Desde $A$ es infinito, sabemos $A$ tiene al menos $n$ elementos, para cada $n\in\mathbb{N}$ (la prueba es muy tonto inducción argumento :P).

Ahora vamos a $X_n$ el conjunto de toda la longitud-$n$ secuencias de elementos de $A$. Así, por ejemplo, $X_1=\{\langle a\rangle: a\in A\}$. Tenga en cuenta que cada elemento de a $X_n$ viene equipado con un pedido (esto faltaba en mi original de la escritura, pero es sumamente importante). $X_n\not=\emptyset$ por cada $n$, por lo que - y aquí usamos el axioma de elección, podemos elegir una familia de representantes, $x_n\in X_n$. A continuación, $B=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} x_n$ es un subconjunto de a $A$ equinumerous con los números naturales! (Este es un buen ejercicio.)

Ahora que hemos terminado: es fácil ver que los números naturales son equinumerous, por ejemplo, los números, por lo $B$ es equinumerous con un subconjunto $B'\subset B$; por lo $A=B\cup (A\setminus B)$ es equinumerous con $B'\cup (A\setminus B)$, que es un subconjunto de a $A$.

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La prueba de que tenemos necesidad del axioma de elección aquí es extremadamente difícil, y requiere de un potente conjunto de la teoría de la técnica llamada forzar.

Answer 2

Sí. Suponiendo que el axioma de elección, si $A$ es infinito, $A$ contiene un countably infinito subconjunto $S=\{s_1,s_2,...\}$. La construcción de un bijection $f:A\to A-\{s_1\}$ $f(s_i)=s_{i+1}$ $s_i\in S$ $f(a)=a$ si $a\notin S$.