Identidad matriz raro

Question

Me tropecé con un extraño igualdad que me parece que no puede explicar:

Para un $N\times N$ (simétrica) de la matriz $\mathbf{X}$ que satisface el autovalor problema

$$\mathbf{X} \mathbf{v}_k = \lambda_k \mathbf{v}_k$$

y un $N\times1$ matriz $\mathbf{u}$ que se divide en 2 (los elementos en la primera mitad son iguales a 1, igual a -1 para la segunda mitad), es decir,

$$\mathbf{u}^T := \frac{1}{\sqrt{N}}\bigl[\underbrace{1 ...\ 1}_{\times N/2}\ \underbrace{-1\ ....-1}_{\times N/2}\bigr]$$

el siguiente (apparantly) sostiene

$$ \mathbf{u}^T(z \mathbf{I} - \mathbf{X})^{-1} \mathbf{u} = \sum_{k=1}^N \frac{(\mathbf{u}^T \mathbf{v}_k)^2}{z-\lambda_k}.$$

$z$ es complejo, pero muy cerca del eje real.

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Supongo que tiene algo que ver con el resolvent

$$ (z \mathbf{I} - \mathbf{X})^{-1} \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathbf{X}^k}{z^{k+1}}$$

pero no lo puedo entender...

Answer 1

Tienes una asunción implícita que $v_k$ son Orto-normal (ortho está garantizado si la matriz tiene valores propios distintos). Uno siempre puede elegir $v_k$ por lo que son Orto-normal.

Dicho esto, podemos escribir $u$ como u $$ = \sum_1^k \sigma_k v_k $$ donde $$ \sigma_k = u^T v_k$ $

Por lo tanto $$\begin{align} u^T (z I - A)^{-1} u &= u^T\sum_1^k \sigma_k(z I - A)^{-1} v_k \ &= \sum_1^k \sigma_k \frac{1}{z-\lambda_k} u^T v_k \ &= \sum_1^k \frac{\left(u^T v_k\right)^2 }{z-\lambda_k} \ \end {Alinee el} $$ el resultado anterior es válido para cualquier vector real $u$.

Answer 2

Creo que la identidad

$\mathbf{u}^T(z \mathbf{I} - \mathbf{X})^{-1} \mathbf{u} = \sum_{k=1}^N \frac{(\mathbf{u}^T \mathbf{v}_k)^2}{z-\lambda_k} \tag{1}$

vale para cualquier $\mathbf u$, siempre y cuando tomamos la $\mathbf v_k$ a de ser normalizada a la unidad, que siempre es una opción posible en el contexto actual. La matriz $\mathbf X$, siendo simétrica, es poseedor de un ortonormales eigenbasis $\mathbf v_k$, y podemos expandir $\mathbf u$ en base a esto, a saber:

$\mathbf u = \sum_1^N (\mathbf u^T \mathbf v_k) \mathbf v_k; \tag{2}$

ahora observe que el $z$, siendo complejo, satisface $z \ne \lambda_k$ para todos los $k$, $1 \le k \le N$, de dónde $1 /(z - \lambda_k)$ está bien definido. Siendo este el caso, tenemos, para cada una de las $\mathbf v_k$,

$(z - \mathbf X) \mathbf v_k = (z - \lambda_k) \mathbf v_k, \tag{3}$

que inmediatamente lleva a la

$\mathbf v_k = (1 / (z - \lambda_k)) (z - \mathbf X)\mathbf v_k. \tag{4}$

Sustituyendo (4) en (2) los rendimientos

$\mathbf u = \sum_1^N (\mathbf u^T \mathbf v_k) (1 / (z - \lambda_k)) (z - \mathbf X)\mathbf v_k = (z - \mathbf X) \sum_1^N (\mathbf u^T \mathbf v_k)(1 / (z - \lambda_k)) \mathbf v_k, \tag{5}$

y desde $z - \mathbf X$ es nonsingular por el hecho de que $z$ no puede ser (real) autovalor de a $X$, podemos escribir

$(z - \mathbf X)^{-1} \mathbf u = \sum_1^N (\mathbf u^T \mathbf v_k)(1 / (z - \lambda_k)) \mathbf v_k; \tag{6}$

tomando el producto de cada lado con $\mathbf u^T$ da ahora

$\mathbf u^T (z - \mathbf X)^{-1} \mathbf u = \sum_1^N (\mathbf u^T \mathbf v_k)(1 / (z - \lambda_k)) (\mathbf u^T \mathbf v_k) = \sum_1^N (1 / (z - \lambda_k)) (\mathbf u^T \mathbf v_k)^2, \tag{7}$

el resultado deseado.

Tenga en cuenta que si el $\mathbf v_k$ son no normalizado, (2) fallaría, y la consiguiente ecuaciones (presumiblemente) tienen que ser modificados.

Espero que esto ayude. Saludos Navideños,

y como siempre,

Fiat Lux!!!