La línea Sorgenfrey es hereditaria Lindelöf

Question

¿Cómo se puede demostrar que el Línea Sorgenfrey es hereditariamente Lindelöf (es decir, todos los subespacios de la línea de Sorgenfrey son Lindelöf)?

Sé que la línea de Sorgenfrey es Lindelöf y, por tanto, todo subespacio cerrado es Lindelöf.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta la siguiente caracterización de la Lindelöfness hereditaria:

Es un hecho. Un espacio topológico $X$ es hereditaria de Lindelöf si dada cualquier familia $\mathcal{U}$ de subconjuntos abiertos de $X$ hay un contable $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ tal que $\bigcup \mathcal{U}_0 = \bigcup \mathcal{U}$ .

prueba. ( $\Rightarrow$ ) Si $X$ es hereditaria de Lindelöf, entonces cualquier familia $\mathcal{U}$ de subconjuntos abiertos de $X$ es una cubierta de $A = \bigcup \mathcal{U}$ por subconjuntos abiertos de $X$ y, por lo tanto, hay un contable $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ tal que $A \subseteq \bigcup \mathcal{U}_0 \subseteq \bigcup \mathcal{U}$ .

( $\Leftarrow$ ) Si $X$ no es hereditario de Lindelöf, entonces hay un subconjunto $A \subseteq X$ y una cubierta $\mathcal{U}$ de $A$ por subconjuntos abiertos de $X$ tal que $A \not\subseteq \bigcup \mathcal{U}_0$ para cualquier contable $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ . Claramente, $\bigcup \mathcal{U}_0 \neq \bigcup \mathcal{U}$ para todo lo contable $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ . $\dashv$

Para ello basta con demostrar que para cualquier familia $\mathcal{U}$ de conjuntos abiertos en la línea de Sorgenfrey existe un conjunto contable $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ tal que $\bigcup \mathcal{U}_0 = \bigcup \mathcal{U}$ .

Para cada $U \in \mathcal{U}$ considere $\mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U )$ donde el interior se toma con respecto a la topología métrica habitual en $\mathbb R$ . Como $\mathbb{R}$ es contable en segundo lugar (y, por lo tanto, es a su vez hereditario de Lindelöf) existe un $\{ U_i : i \in \mathbb{N} \} \subseteq \mathcal{U}$ tal que $$\bigcup_{i \in \mathbb{N}} \mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U_i ) = \bigcup \{ \mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U ) : U \in \mathcal{U} \}.$$

Tenga en cuenta que si $x \in \bigcup \{ U : U \in \mathcal{U} \} \setminus \bigcup_{i \in \mathbb N} U_i$ entonces, en particular $x \notin \mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U )$ para todos $U \in \mathcal{U}$ y, por lo tanto, consideremos $A = \bigcup \{ U : U \in \mathcal{U} \} \setminus \bigcup \{ \mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U ) : U \in \mathcal{U} \}$ . Afirmo que $A$ es contable. Para cada $x \in A$ hay un $\epsilon_x > 0$ tal que $[ x , x+ \epsilon_x ) \subseteq U$ para algunos $U \in \mathcal{U}$ y observe que $( x , x+ \epsilon_x ) \subseteq \mathrm{Int}_{\mathbb R} ( U )$ Así que $( x , x+ \epsilon_x ) \cap A = \emptyset$ . De ello se desprende que $\{ ( x , x+\epsilon_x ) : x \in A \}$ es una familia de conjuntos abiertos disjuntos en la topología métrica de $\mathbb{R}$ y por lo tanto es contable.

Para cada $x \in A$ elige $U_x \in \mathcal{U}$ que contiene $x$ . Entonces $\mathcal{U}_0 = \{ U_i : i \in \mathbb N \} \cup \{ U_x : x \in A \}$ es una subfamilia contable de $\mathcal{U}$ con el mismo sindicato.

Answer 2

Considere cualquier conjunto $S\subseteq\mathbb R$ y que $\mathcal U$ sea una colección de conjuntos abiertos de Sorgenfrey que cubre $S$ . Digamos que un conjunto de reales es contablemente cubierto si está cubierto por un número contable de miembros de $\mathcal U$ . Tengo que demostrar que $S$ está cubierta de forma contable.

Para $x,y\in\mathbb R$ definan la relación $x\equiv y$ para significar que el conjunto $\{s\in S:x\le s\le y\text{ or }y\le s\le x\}$ está cubierta de forma contable.

Es fácil ver que $\equiv$ es una relación de equivalencia en $\mathbb R$ y que las clases de equivalencia son subconjuntos convexos de $\mathbb R$ es decir, intervalos o monotonos. Además, utilizando el hecho de que un subconjunto convexo de $\mathbb R$ es una unión contable de intervalos cerrados, podemos ver que la intersección de $S$ con cada clase de equivalencia está contablemente cubierta. Como cada punto de $S$ está en una clase de equivalencia no degenerada (un intervalo, no un singleton), y como sólo hay un número contable de tales clases, se deduce que $S$ está cubierta de forma contable.