Ayuda con una serie (Editado)

Question

El problema original era: $$\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k}{6k^3+13k^2+9k+2}$$ Utilizando fracciones parciales, resolví esto en $$\sum_{k=0}^\infty\dfrac{6}{3k+2}-\sum_{k=0}^\infty\dfrac{2}{2n+1}-\sum_{k=0}^\infty\dfrac{1}{k+1}$$ A partir de aquí, cualquier cosa que hiciera estaba evidentemente mal. Me las arreglé para dividir la serie en la diferencia de Serie Divergente. $$$$ Cualquier ayuda para resolver estas 3 series sería muy apreciada. Muchas gracias, y lo siento de verdad por los problemas que he causado por cometer errores de la manera que lo hice.

Edit: Parece que incluso la resolución en Fracciones Parciales estaba mal. Por favor, ¿podría ayudarme desde el principio? Lo siento mucho, mucho por las molestias causadas.

Answer 1

Tenemos que nuestra suma es igual: $$S= \sum_{n\geq 0}\left(\frac{12}{6n+4}-\frac{6}{6n+3}-\frac{6}{6n+6}\right)=6\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}(-x^5+2x^3-x^2)\,x^{6n}\,dx$$ por lo tanto: $$ S = 6\int_{0}^{1}\frac{x^2(-1+x+x^2)}{(1+x)(1-x+x^2)(1+x+x^2)}\,dx $$ y no es tedioso pero sencillo comprobar mediante descomposición parcial de fracciones que: $$ S = -\frac{\pi}{\sqrt{3}}-2\log 2+3\log 3. $$

Answer 2

No se trata de una suma elemental

Converge por la prueba integral pero la suma es... $$\log \left({27 \over 4} \right)-{\pi \over {\sqrt 3}} = 0.0957...$$

Creo que esto se puede demostrar utilizando análisis complejos, pero sería mucho trabajo.

Así que la prueba integral da en realidad una aproximación a la suma. Basta con integrar las fracciones parciales de 0 a infinito aplicando los límites adecuados. La integral de la función $F$ est $\ln(9/8)$ . Esto proporciona un límite superior a la suma $S$ y una estimación. $$S \sim 0.117...$$

Answer 3

La nueva serie que has editado sí converge por la prueba de comparación. La suma sin embargo, no es elemental, mira la propia fórmula de las sumas parciales para ver la complejidad. La suma sin embargo evalúa a

$$\sum_{k=0}^\infty\dfrac{k}{6k^3+13k^2+9k+2} = \log \left(\frac{24}{7}\right) - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$$