Sea f una delimitada real de los valores de la función en [a,b], a continuación, defina la longitud de la curva L(f) de la siguiente manera: \begin{equation}\tag{1} L(f)=sup\sum\limits_{i=1}^{n}\sqrt{ (x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}, \end{equation} donde sup se toma sobre todas las particiones de [a,b].
La cuestión es mostrar, L(f) es igual a \begin{equation}\tag{2} \lim\limits_{max|x_i-x_{i-1}|\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sqrt {(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2} \end{equation} para funciones continuas. Sé que cuando $max|x_i-x_{i-1}|\to 0$, podemos obtener más fino particiones para que $(1)\leq(2)$ porque si tomamos cualquier partición y, a continuación, deje $max|x_i-x_{i-1}|\to0$ a continuación, obtenemos una suma mayor debido a la desigualdad de triángulo.(Supongo que lo que he dicho es cierto y no requieren continuidad.) Yo no podía mostrar $(2)\leq(1)$ y no podían hacer uso de la continuidad. En una suma finita, podemos cambiar $\sum$ y el límite, pero como $max|x_i-x_{i-1}|\to0$ obtenemos una suma infinita de modo de conmutación puede fallar. Me quedé atrapado.
P. S. he leído (la Determinación de la Longitud de una Curva Utilizando Particiones), pero yo no entendía "hay una secuencia $(Q_n)_{n\geq0}$ de las particiones con (3) sostiene que" lo que se dijo en la respuesta. Si te refieres a esa pregunta, por favor, dime por qué (3) se mantiene. Pensé que (3) es el mismo como lo que queremos mostrar en esta cuestión.
Probablemente, me perdí un sencillo detalle. Gracias de antemano por cualquier ayuda.
