Grupos abelianos finitos isomorfos

Question

Deje que$G$ y$H$ sean grupos abelianos finitos. Muestre que si para cualquier número natural$n$ los grupos$G$ y$H$ tienen la misma cantidad de elementos de orden$n$, entonces$G$ y$H$ son isomorfos.

Lo sé, que para un grupo infinito no funciona:$ \Bbb Z_{27}$

Me parece que puedo usar el grupo abeliano finamente generado

Es posible que este simple hecho, pero pediría escribir una prueba.

Answer 1

Desde $G$ $H$ son un producto directo de grupos cíclicos del primer poder de la orden (teorema fundamental de finito Abelian grupos), sólo tenemos que demostrar que si el número de elementos de orden $n$ son los mismos para $G$$H$, ambas corresponden a la misma directa del producto.

Supongamos $p^k$ divide tanto a a$|G|$$|H|$. El número de elementos de orden $p^k$ $N\cdot \phi(p^k)$ donde $N$ es el número de grupos cíclicos en el producto directo de la orden de $p^j$$j \ge k$. A continuación, podemos fácilmente determinar $N$ por cada $p^k$, y así, todo el producto directo.

Dado que la información dada es suficiente para completamente determinar $G$$H$, deben ser isomorfos.