Cómo calcular el complejo integral de la $\int_{\gamma} e^{\frac{1}{z^2 - 1}}\sin{\pi z} \, \mathrm dz$?

Question

Mi Problema

Estoy tratando de resolver los problemas de vieja exámenes de calificación en el análisis complejo y ahora estoy atascado en el siguiente ejercicio.

Calcular el complejo integral

$$ \int_{\gamma} e^{\frac{1}{z^2 - 1}}\sin{\pi z} \,\mathrm dz $$

donde $\gamma$ es una curva cerrada en la mitad derecha del plano que tiene el índice de $N$ con respecto al punto de $1$.

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Mi intento

Por el teorema de los Residuos, ya que la función $f(z) := e^{\frac{1}{z^2 - 1}}\sin{\pi z}$ sólo tiene una singularidad aislada en$z = 1$, en la mitad derecha del plano, que en este caso es una singularidad esencial, podemos calcular la integral por encontrar el residuo de a $1$, más precisamente

$$ \int_{\gamma} e^{\frac{1}{z^2 - 1}}\sin{\pi z} \, \mathrm dz = 2\pi i N \operatorname{Res}{(f(z); 1)} $$

donde el $N$ proviene de la suposición de que en el índice de la curva.

Ahora mi problema es que yo no puedo calcular este residuo. El "evidente" que las cosas que he probado están encontrando las Laurent expansiones de las funciones $e^{\frac{1}{z^2 - 1}}$$\sin{\pi z}$$z = 1$. Es fácil encontrar que

$$ \sin{\pi z} = -\frac{\pi}{1!}(z - 1) + \frac{\pi^3}{3!}(z - 1)^3 -\frac{\pi^5}{5!}(z - 1)^5 + \frac{\pi^7}{7!}(z - 1)^7 + \cdots $$

Luego he intentado hacer lo siguiente con la exponencial:

$$ e^{\frac{1}{z^2 - 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{(z^2 - 1)^n} $$

y pensé que tal vez, a continuación, expresan la fracción $\frac{1}{z^2 - 1}$

$$ \frac{1}{z^2 - 1} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} \right ) $$

y el uso de la expansión Laurent

$$ \frac{1}{z+ 1} = \frac{1}{z - 1 + 2} = \frac{1}{2}\frac{1}{1 + \frac{z - 1}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(z - 1)^n}{2^n} $$

podría ser de ayuda.

Pero ahora no veo mucha esperanza de que este trabajo porque me tendría que poner esta última serie infinita de nuevo en la serie de la exponencial y hay un $n$-ésima potencia de allí, y finalmente, para colmo me tendría que multiplicar por el de la serie de Laurent de la $\sin{\pi z}$ para intentar conseguir un asimiento del coeficiente de $\frac{1}{z - 1}$.

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Yo realmente apreciaría cualquier ayuda con esto. Gracias.

Answer 1

El uso de su serie de expansiones que podemos escribir: $$ e^{\frac1{z^2-1}} \sin \pi z = \sum_{n,k \ge 0} (-1)^{k+1} \frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!\,n!} \frac1{(z+1)^n}\frac1{(z-1)^{n-2k-1}} $$ Ahora (para cualquier $z$ dentro del círculo de radio 2 centrado en $z=1$) $$ (z+1)^{-n} = \sum_{l\ge0} \frac{(-n)(-n-1)\cdot\ldots\cdot(-n-l+1)}{l!}2^{-n-l} (z-1)^l $$ Así que en total tenemos $$ e^{\frac1{z^2-1}} \sin \pi z = \sum_{n,k,l \ge 0} (-1)^{k+1} \frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!\,n!} {-n \elegir l} \frac1{2^{n+l}} \frac1{(z-1)^{n-2k-l-1}} $$ El coeficiente de $\frac1{z-1}$ es entonces $$ \sum_{n,k \ge 0} \frac{(-1)^{k+1} \pi^{2k+1}}{(2k+1)!\,n!\,4^{n-k}} {-n \elegir n-2k} $$ Debe haber una mejor solución, sin embargo....