¿Cómo se calcula esta suma? $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)\cdots(n+p)}$ ?

Question

Sé que esta suma $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)\cdots(n+p)}$$ ( $p$ fijo) converge, lo que se puede demostrar fácilmente utilizando el criterio de la proporción, pero no he podido calcularlo.

Necesito ayuda en esta parte.

Muchas gracias.

Answer 1

Una pista: $$\frac{p}{n(n+1)\cdots(n+p)}=\frac{1}{(n)(n+1)\cdots (n+p-1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots (n+p)}.$$