Tengo algunos problemas para mostrar en que $x \in \mathbb{R}$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}}$ converge y por qué el resultado de la función es continua en este conjunto.
Creo que es bastante claro que para $x > 1$ tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}} = 1$$ x = 1, \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}} = 1/2$, con lo que en ambos casos la serie no puede converger.
Ahora para cualquier $[-c, c]$ $c \in (0,1)$ sabemos que para cualquier $n \in \mathbb{N}:$
$$M_n :=\sup\{ \frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}} | x \in [-c, c]\} = \frac{ c^{2n}}{1+ c^{2n}}.$$
Entonces tenemos por un argumento similar para probar la convergencia de la serie geométrica: $$\sum_{n=1}^{\infty} M_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ c^{2n}}{1+ c^{2n}} < \sum_{n=1}^{\infty} c^{2n} = \frac{ c^{2}}{1 - c^{2}}$$ A lo largo de este intervalo cerrado $[-c, c]$ M de Weierstrass de la prueba nos dice que tenemos convergencia uniforme. Ahora, obviamente, para cualquier $n \in \mathbb{N},$ $\frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}}$ es continua en todos los de $\mathbb{R}$ así: $$f:= [-c, c] \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}}$$ es bien definido y continuo.
Sin embargo no estoy seguro de si puedo concluir a partir de esto que se acaba porque esto es válido para cualquier $[-c, c]$$c \in (0,1)$, se obtiene automáticamente convergencia uniforme y, por tanto, la continuidad en $(-1,1)$. Creo que no puedo usar la M de la prueba en este intervalo de abrir directamente como para todos los $n \in \mathbb{N}$: $$M_n :=\sup\{ \frac{ x^{2n}}{1+ x^{2n}} | x \in (-1, 1)\} = \frac{ 1}{2}.$$
El trazado de la función parece dar a entender que en efecto, hold on $(0,1)$:
