Motivado por los números complejos, me di cuenta de que el conjunto de todos los elementos de los siguientes forma un subanillo conmutativo de $M_2(\mathbb{R})$ :
\begin{pmatrix} x & y\\ -y & x \end{pmatrix}
¿Es este subanillo maximal con respecto a la conmutatividad? Si este subanillo es conmutativo máximo, ¿hay "otros" subanillos maximamente conmutativos?
P.D: 'otro'=no isomorfo.
Hasta la conjugación, hay tres subredes abelianas máximas en el anillo de matrices de dos por dos con entradas reales: $$\left\{ \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right) \right\}, \ \left\{ \left( \begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix} \right) \right\}, \ \text{and} \ \left\{ \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & a \end{matrix} \right) \right\}.$$
He aquí una prueba de ello. Supongamos que $R \subseteq M_2(\mathbb{R})$ es un subring conmutativo máximo. Entonces, por maximalidad, $R$ contiene las matrices escalares y al menos una matriz $A$ que no es una matriz escalar. Dado que $R$ es un subring, $R$ contiene necesariamente todas las matrices que pueden expresarse como polinomios en $A$ con coeficientes de $\mathbb{R}$ y como el polinomio mínimo de $A$ es de grado $2$ , $R$ tiene una dimensión mínima de $2$ . El centralizador de un no escalar $2$ por $2$ matriz como $A$ tiene exactamente la dimensión $2$ (una forma rápida y sucia de ver esto: podemos suponer que estamos trabajando sobre $\mathbb{C}$ y $A$ está en forma de Jordan, por lo que o bien es una matriz diagonal con entradas diagonales distintas, o bien es un único bloque de Jordan, y el cálculo directo en estos dos casos lo hace), por lo tanto $R$ consiste exactamente en matrices que se pueden expresar como polinomios en $A$ .
Hemos reducido su problema a clasificar los subrings de $M_2(\mathbb{R})$ que consisten en todos los polinomios de una única matriz no escalar $A$ . Trabajando en cambio sobre $\mathbb{C}$ hasta la conjugación sólo hay dos: el álgebra de las matrices diagonales y el álgebra de las matrices triangulares superiores con entradas diagonales iguales. Pero sobre $\mathbb{R}$ las cosas son un poco más complicadas, ya que el polinomio mínimo (=característico, en nuestro caso) de $A$ no puede dividirse.
Si este polinomio mínimo es de la forma $(x-a)^2$ para algunos $a$ entonces como tiene coeficientes reales debemos tener $a \in \mathbb{R}$ y por lo tanto $R$ consiste en matrices triangulares superiores con entradas diagonales iguales. Pero si es de la forma $(x-a)(x-b)$ para los distintos $a,b \in \mathbb{C}$ (si ambos no son reales, entonces son conjugados complejos), entonces hay dos posibilidades para $R$ : si $a$ y $b$ son ambos reales, entonces $R$ es (hasta la conjugación) el álgebra de las matrices diagonales, mientras que si son complejas conjugadas $R$ es (de nuevo, hasta la conjugación) el álgebra de las matrices de la forma $$\left\{ \left( \begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix} \right) \right\}.$$
En el anillo de $n$ por $n$ matrices para $n$ grandes, las cosas son mucho más complicadas. Las subálgebras conmutativas máximas se presentan en una gran profusión, ya sobre un campo algebraicamente cerrado. Por ejemplo, puede haber subálgebras conmutativas máximas de dimensión mucho mayor que $n$ (alrededor de $(n/2)^2$ ), y también hay subálgebras conmutativas máximas de dimensión mucho menor que $n$ (sobre $3n^{2/3}$ ). Para ver ejemplos de esto último -algo sorprendente, en mi opinión-, véase este documento
http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077375768
de Courter en Duke Math. J., Volume 32, Number 2 (1965), pp. 225--232.
Para obtener un mejor comportamiento hay que considerar subálgebras abelianas autonormalizadoras en lugar de máximas.
Dimensión máxima de una subálgebra conmutativa de $n$ por $n$ matrices es $$ 1 + \left\lfloor \frac{n^2}{4} \right\rfloor. $$
En dimensión par $2m,$ esto se realiza mediante $$ \left( \begin{array}{rr} \alpha I & A \\ 0 & \alpha I \end{array} \right), $$ donde $A$ es cualquier $m$ por $m$ matriz y $I$ es el $m$ por $m$ identidad.
Este es un teorema de Schur, ver https://mathoverflow.net/questions/29087/commutative-subalgebras-of-m-n y referencias en la respuesta de Robin Chapman.
Nota $$ \left( \begin{array}{rr} \alpha I & A \\ 0 & \alpha I \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} \beta I & B \\ 0 & \beta I \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} \alpha \beta I & \beta A + \alpha B \\ 0 & \alpha \beta I \end{array} \right), $$ lo mismo que $$ \left( \begin{array}{rr} \beta I & B \\ 0 & \beta I \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} \alpha I & A \\ 0 & \alpha I \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} \alpha \beta I & \beta A + \alpha B \\ 0 & \alpha \beta I \end{array} \right). $$
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