Puede este campo gravitacional de la ecuación diferencial se resuelve, o no mostrar lo que se pretende?

Question

Esta es la ecuación estoy teniendo problemas con:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{d^2 r}{dt^2}$

Que el que no sea vector de la forma de la ley de la gravitación universal en la izquierda y la segunda ley de Newton del movimiento a la derecha. Supongo que tras correctamente el modelado y la resolución de este, voy a tener una función de tiempo que da la distancia de una masa esférica en el espacio (por ejemplo, la distancia desde la Tierra a partir de una condición inicial de $r(0) = 10,000 \mathrm{km}$).

Sin embargo, WolframAlpha da un infierno de una respuesta, que me lleva a creer que yo soy el modelado de esta ecuación completamente equivocado. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre este problema?

Answer 1

Sí que está modelado mal. La gravedad es una fuerza atractiva, por lo que si la masa está en r = 0 y r es no negativa, entonces la fuerza de gravedad debe apuntar hacia cero, es decir, negativo.

$$ - \frac{GMm}{r^2} = m\ddot r$$

(Esto supone $m\ll M$, por lo que no necesitamos considerar la reducción de la masa. Ver las otras respuestas para el caso más general.)

Pero ahora Alfa incluso se niega a resolver. Eso está bien, porque Mathematica no puede resolver muchas cosas. El enfoque habitual es de notar que

$$ \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt} = v \frac{dv}{dr} $$

convertir el 2do orden ODA a una de 1er orden ODE:

$$ -GM \frac{dr}{r^2} = v \,dv $$

Esto le da a la solución de v(r).

$$ \frac{GM}r + \text{constant} = \frac{v^2}2 \qquad (*) $$

Pero el recuerdo $v = dr/dt$. Así que tenemos otro de 1er orden ODA a resolver, lo que da r(t). La solución debe verse como el "infierno de respuesta" porque de la raíz cuadrada.

 

Nota: Si usted reorganizar los términos que usted debe ver que la Ecuación (*) es sólo la conservación de la energía.

Answer 2

La correcta ecuación diferencial es: $$ - \frac{G M m}{r^2} = \mu \ddot r $$ donde $ \mu = \frac{M m}{M+m} $ es la reducción de la masa.

Esto se puede simplificar dividiendo por $\mu$ $$ - \frac{G(M+m)}{r^2} =\ddot r $$

El problema puede ser más simplificado, mediante el establecimiento de: $ G(M+m) $ igual a una constante, generalmente 1/2. $$ - \frac{1}{2} = r^2 \ddot r $$

Esta es una de 2º orden quasilinear heterogéneas ecuación diferencial ordinaria. Esta ecuación está mal formado, no tiene una solución única. La adición inicial o las condiciones de contorno conducirá a una única solución particular.

Como la más general de las órbitas de Kepler, radial órbitas pueden también ser clasificados como elípticas, parabólicas o hiperbólicas, que corresponden a tres formas de las soluciones particulares.

En la parabólica caso, la configuración de $ G(M+m) = 2/9 $, con condiciones iniciales $ r(1)=1, \ \dot r(1)=2/3 \ $ conduce a una solución simple:$$ t = r^{3/2} $$

En la elíptica caso, la configuración de $ G(M+m) = 1/2 $, con condiciones iniciales $ r(\pi/2)=1, \ \dot r(\pi/2)=0 \ $, la solución particular es: $$ t = \arcsin(\sqrt{r})-\sqrt{r(1-r)} $$

En el hiperbólico caso, la configuración de $ G(M+m) = 1/2 $, con condiciones iniciales $ t_0 = \sqrt{2}-\operatorname{arcsinh}(1)$, $ r(t_0)=1 $, $ \dot r(t_0)=\sqrt{2} $, la solución particular es:$$ t = \sqrt{r(1+r)} - \operatorname{arcsinh}(\sqrt{r}) $$

Answer 3

Creo que usted está haciendo todo mal. Su Newtoniano fuerza gravitacional ecuación se ve mal para mí en coordenadas esféricas.

He aquí un enfoque diferente uso de Lagrange y de Hamilton enfoque. La solución es

$$\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\sqrt{\dfrac{2E}\mu-\dfrac{p_\phi^2}{\mu^2}\dfrac1{r^2}-\dfrac{2V(r)}\mu}$$

Donde

$$ V(r) = -\frac1r $$

Answer 4

Si el modelo de gravedad correctamente, que es con aceleración negativa, la respuesta a esto es muy simple: es sólo la "RAÍZ CÚBICA DE t al CUADRADO", adecuado constantes.

Esta solución se describe el Movimiento con una Parabólica de la Velocidad ( es decir. velocidad cero en el infinito ), los otros dos velocidades dada por la solución general.