Sea $(\Omega,\mathcal A,\Bbb P)$ sea un espacio de probabilidad completo. Consideremos un movimiento browniano estándar $B=(B_t)_{t\ge0}$ en este espacio.
Sabemos que sus trayectorias son $\alpha$ -Soporte continuo para cada $\alpha<1/2$ y además que a.s. $B_0=0$ .
Así que me preguntaba (incluso mirando las muchas realizaciones que se pueden encontrar en la web): ¿es posible controlar el comportamiento de las trayectorias cerca de $0$ ?
Quiero decir, conjeturé que $\forall \epsilon>0\;\;\exists\delta>0$ tal que $$ t^{1/2+\epsilon}\le|B_t|\le t^{1/2-\epsilon}\;\;\forall t\in[0,\delta]. $$ Esto parece razonable, pero no sé cómo demostrarlo o refutarlo.
EDICIÓN: GENERALIZACIÓN
Si $B^H=(B_t^H)_{t\ge0}$ es un movimiento browniano fraccionario de parámetro Hurst $0<H<1$ ¿es posible demostrar que $$ t^{H+\epsilon}\le|B_t^H|\le t^{H-\epsilon}\;\;\forall t\in[0,\delta]? $$
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No a.s. no; con probabilidad positiva $B_t$ es arbitrariamente grande. Recordemos que es $N(0,t)$ distribuidos en cada momento. Así que de alguna manera debe tener un $\alpha$ también para controlar la rareza del evento que está prohibiendo. O un factor aleatorio constante que no esté uniformemente acotado pero que presumiblemente tenga colas lo suficientemente pequeñas como para que su MGF exista.
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¿No está esto muy relacionado con el teorema del módulo de continuidad de Levy? O tal vez estoy un poco equivocado.
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@Ian: Estoy de acuerdo en que $B_t$ puede ser arbitrariamente grande, pero... ¿qué pasa con los vecinos de cero? Es decir: elegir una distancia de $t=0$ pequeños como queramos, ¿no tenemos la posibilidad de controlar las trayectorias?
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La parte izquierda de tu conjetura no tiene sentido ya que $|B_t|=0$ para un valor arbitrariamente pequeño de $t>0$ .