En cuanto a la estructura de ciertos polinomios mínimos

Question

¿Mi pregunta es: es la declaración siguiente? Si es así, ¿cómo podría ir sobre probándolo?

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Que $m$ ser un entero no menor que 1, que $F = GF(2^{6m})$ y que $L = GF(2^{2m})$. Que $\gamma$ ser un elemento primitivo de $L$, y que $\beta \in F$ tal que $\beta^3 = \gamma$. Si $\phi_a(x) = c_0x^{6m}+c1x^{6m-1}+...+c{6m-1}x+c_{6m}$ es el polinomio mínimo de un elemento $a \in \beta L$ y $$c_i = 0 \hspace{5mm} \text{if $i \not\equiv 0 \pmod{3}$}$$

Answer 1

El siguiente programa es el mejor que puede reunir de inmediato. Probablemente no sea el más limpio ruta hacia el destino, pero conduce a una prueba.

Suponga que $z=\gamma^j$ es arbitraria elemento no nulo de a $L$. Entonces

• $\beta z=\beta^{1+3j}$, y
• $(\beta z)^3=\gamma^{1+3j}\in L$.

Deje $\phi(x)$ ser el polinomio mínimo de a $\gamma^{1+3j}\in L$. Entonces

• $a=\beta z$ es un cero del polinomio $\phi(x^3)$, y
• los coeficientes de los términos de $\phi(x^3)$ grado $\not\equiv0\pmod3$ son todos cero.

Esto demuestra su observación, si podemos demostrar que $\phi(x^3)$ tiene el grado correcto ($=\deg\phi_a(x)$). Debido a $\deg\phi(x)$ es siempre un factor de $2m$, hemos terminado, si tenemos que gastar un poco más de información que $\deg\phi_a(x)=6m$.

Incluso si no es el caso, podemos hacer las siguientes deducciones (dejando de boceto según su petición):

• Tenemos $\deg\phi(x)$ es igual al grado de la extensión de $GF(2)[a^3]$$GF(2)$.
• Del mismo modo $\deg\phi_a(x)$ es igual al grado de la extensión de $GF(2)[a]$$GF(2)$.
• Aquí $GF(2)[a^3]$ es un subcampo de la $L$.
• Pero $GF(2)[a]$ no es un subcampo de la $L$. Es un subcampo de la $F$, aunque.
• Claramente $GF(2)[a^3]$ es un subcampo de la $GF(2)[a]$.
• Poniendo estos bits junto demuestra que $GF(2)[a]$ es un cúbicos de extensión de $GF(2)[a^3]$.
• Por lo tanto,$\deg\phi_a(x)=3\deg\phi(x)$, y la demanda sigue como el anterior.

El siguiente a la última viñeta es un poco más sutil que el resto. Recuerde que la cardinalidad de un subcampo de la $F$ determina de forma única.